Для решения заданий необходимо рассмотреть вероятности для каждого из случаев.
Задание 4. Два игральных кубика подбрасываются до тех пор, пока сумма не превысит 10.
a) Найдите вероятность того, что кубики придётся подбрасывать ровно три раза.
Чтобы кубики подбрасывались ровно три раза, нужно, чтобы на первых двух подбрасываниях сумма была 10 или меньше, а на третьем — больше 10.
Общее количество возможных исходов при броске двух кубиков составляет 36 (6 граней на первом кубике * 6 граней на втором).
- Сумма кубиков будет больше 10 для следующих комбинаций: (5,6), (6,5), (6,6). Это всего 3 исхода.
- Сумма кубиков 10 — комбинации (4,6), (5,5), (6,4): всего 3 исхода.
- Сумма кубиков 9 и меньше: 36 - (3 + 3) = 30 исходов.
Теперь, чтобы получить вероятность:
Вероятность того, что сумма будет 10 или меньше на первых двух бросках:
[P(A) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}]
Вероятность того, что сумма на третьем броске будет больше 10:
[P(B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}]
Используя теорему умножения:
[P(точно три броска) = P(A) \cdot P(A) \cdot P(B) = \left(\frac{5}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right) \cdot \frac{1}{12} = \frac{25}{432}]
b) Найдите вероятность того, что кубики придётся подбрасывать менее трёх раз.
Это возможно, если на первом или втором броске сумма кубиков уже превысила 10. Вычисляем:
Вероятность того, что сумма будет больше 10:
[P(> 10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}]
Вероятность того, что сумма будет 10 или меньше:
[P(\leq 10) = 1 - P(>10) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}]
Теперь, чтобы получить вероятность того, что кубики подбрасываются менее трёх раз (это может произойти, если на первом или втором броске сумма больше 10):
[P(менее 3) = P(> 10 \text{ на 1-м броске}) + P(\leq 10) \cdot P(> 10 \text{ на 2-м броске})]
[P(менее 3) = \frac{1}{12} + \frac{11}{12} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{12} + \frac{11}{144} = \frac{12 + 11}{144} = \frac{23}{144}]
Задание 5. Две монеты подбрасываются до тех пор, пока на обеих не выпадет герб.
a) Найдите вероятность того, что монеты придётся подбрасывать ровно четыре раза.
Для того чтобы подбрасывать ровно четыре раза, на первых трех подбрасываниях нужно получить хоть одну решку (т.е. не Герб), а на четвертом — герб.
Вероятность не получить герб на одном броске:
[
P(Решка) = \frac{1}{2}
]
Вероятность того, что на первых трех бросках не будет герба (все будут решкой):
[
P(\text{решка в 3 бросках}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
]
Вероятность того, что на четвертом броске будет герб:
[
P(Герб) = \frac{1}{4}
]
Тогда вероятность подбрасывать монеты ровно четыре раза:
[
P(четыре броска) = P(Решка) \cdot P(Решка) \cdot P(Решка) \cdot P(Герб) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}
]
b) Найдите вероятность того, что монеты придётся подбрасывать менее четырёх раз.
Это возможно, если на первом, втором или третьем броске выпадает герб.
Вероятность того, что на первом подбрасывании выпадает герб:
[
P(герб) = \frac{1}{4}
]
Вероятность того, что на втором броске не будет герб, а на первом — будет:
[
P(Решка) \cdot P(Герб) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{8}
]
Вероятность того, что на третьем броске будет герб:
[
P(Решка) \cdot P(Решка) \cdot P(Герб) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16}
]
Суммируем шансы:
[
P(<4) = P(герб на 1-м) + P(герб на 2-м) + P(герб на 3-м) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}
]
Таким образом, мы получили вероятности для обоих заданий. Если понадобятся дополнительные разъяснения или пояснения, буду рад помочь!
