Найди абсциссу точки графика функции f(x)=2x^2/3x+3 , в которой функция f(x) меняет своё направление с возрастания на убывание. Запиши в поле ответа верное целое число или…

Для нахождения точки, в которой функция \( f(x) = \frac{2x^2}{3x+3} \) меняет направление с возрастания на убывание, нужно найти производную функции и определить её нули, чтобы найти критические точки.

Сначала найдем производную \( f(x) \):

1. Применяем правило деления: если \( u = 2x^2 \) и \( v = 3x + 3 \), то \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \] где \( u' = 4x \) и \( v' = 3 \).

Таким образом: \[ f'(x) = \frac{(4x)(3x + 3) - (2x^2)(3)}{(3x + 3)^2}. \]

2. Упростим числитель: \[ f'(x) = \frac{12x^2 + 12x - 6x^2}{(3x + 3)^2} = \frac{6x^2 + 12x}{(3x + 3)^2} = \frac{6x(x + 2)}{(3x + 3)^2}. \]

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 6x(x + 2) = 0. \]

Это уравнение равно нулю при: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2. \]

Теперь определим, на каком интервале функция возрастает или убывает. Рассмотрим три интервала, определяемые критическими точками: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \) и \( (0, +\infty) \).

• Для \( x < -2 \), выберем \( x = -3 \): \[ f'(-3) = \frac{6(-3)(-1)}{(3(-3) + 3)^2} = \frac{18}{(-6)^2} > 0 \quad (\text{возрастает}). \]

• Для \( -2 < x < 0 \), выберем \( x = -1 \): \[ f'(-1) = \frac{6(-1)(1)}{(3(-1) + 3)^2} = \frac{-6}{0} \quad (\text{не определена}). \]

• Для \( x > 0 \), выберем \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{6(1)(3)}{(3(1) + 3)^2} = \frac{18}{6^2} > 0 \quad (\text{возрастает}). \]

Таким образом, на интервале \( (-\infty, -2) \) функция возрастает, что означает, что на точке \( x = -2 \) функция меняет направление с возрастания на убывание.

Следовательно, ответом является: \[ \boxed{-2}. \]