Для нахождения точки, в которой функция ( f(x) = \frac{2x^2}{3x+3} ) меняет направление с возрастания на убывание, нужно найти производную функции и определить её нули, чтобы найти критические точки.
Сначала найдем производную ( f(x) ):
- Применяем правило деления: если ( u = 2x^2 ) и ( v = 3x + 3 ), то
[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2},
]
где ( u' = 4x ) и ( v' = 3 ).
Таким образом:
[
f'(x) = \frac{(4x)(3x + 3) - (2x^2)(3)}{(3x + 3)^2}.
]
- Упростим числитель:
[
f'(x) = \frac{12x^2 + 12x - 6x^2}{(3x + 3)^2} = \frac{6x^2 + 12x}{(3x + 3)^2} = \frac{6x(x + 2)}{(3x + 3)^2}.
]
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
[
6x(x + 2) = 0.
]
Это уравнение равно нулю при:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2.
]
Теперь определим, на каком интервале функция возрастает или убывает. Рассмотрим три интервала, определяемые критическими точками: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 0) ) и ( (0, +\infty) ).
Для ( x < -2 ), выберем ( x = -3 ):
[
f'(-3) = \frac{6(-3)(-1)}{(3(-3) + 3)^2} = \frac{18}{(-6)^2} > 0 \quad (\text{возрастает}).
]
Для ( -2 < x < 0 ), выберем ( x = -1 ):
[
f'(-1) = \frac{6(-1)(1)}{(3(-1) + 3)^2} = \frac{-6}{0} \quad (\text{не определена}).
]
Для ( x > 0 ), выберем ( x = 1 ):
[
f'(1) = \frac{6(1)(3)}{(3(1) + 3)^2} = \frac{18}{6^2} > 0 \quad (\text{возрастает}).
]
Таким образом, на интервале ( (-\infty, -2) ) функция возрастает, что означает, что на точке ( x = -2 ) функция меняет направление с возрастания на убывание.
Следовательно, ответом является:
[
\boxed{-2}.
]
