1. В единичном кубе AВСДА1В1С1D1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA1.
Чтобы найти расстояние от точки \( A \) до плоскости \( BDA_1 \) в единичном кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), нам необходимо использовать формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.
Определим координаты вершин куба:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
Выразим плоскость \( BDA_1 \): Плоскость определяется тремя точками: \( B(1, 0, 0) \), \( D(0, 1, 0) \) и \( A_1(0, 0, 1) \).
Найдем вектор нормали к плоскости: Для этого найдем два вектора на плоскости:
- \( \mathbf{BD} = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0) \)
- \( \mathbf{BA_1} = A_1 - B = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1) \)
Теперь вычислим вектор нормали \( \mathbf{n} \) к плоскости, взяв произведение векторов \( \mathbf{BD} \) и \( \mathbf{BA_1} \): \[ \mathbf{n} = \mathbf{BD} \times \mathbf{BA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (1, 1, 1) \] Таким образом, нормальный вектор \( \mathbf{n} = (1, 1, 1) \).
Уравнение плоскости: Теперь у нас есть нормальный вектор и точка \( B(1, 0, 0) \), через которую проходит плоскость. Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x + y + z - 1 = 0 \]
Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости: Расстояние \( d \) от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости с уравнением \( Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Подставив значения:
- \( A = 1, B = 1, C = 1, D = -1 \)
- \( (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0) \)
Получаем: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Таким образом, расстояние от точки \( A \) до плоскости \( BDA_1 \) составляет \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).
