Докажите что равные хорды окружности равноудалены от её центра

Чтобы доказать, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, начнём с определения и основных понятий. Пусть у нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Пусть \( AB \) и \( CD \) — две равные хорды окружности, то есть \( AB = CD \). 1. **Проведем радиусы**. Проведем радиусы \( OA \) и \( OB \), а также \( OC \) и \( OD \). Эти радиусы соединены с концами хорд. 2. **Построим перпендикуляры**. Теперь проведем перпендикуляры из центра \( O \) к хордам \( AB \) и \( CD \). Обозначим точки пересечения перпендикуляров с хордой \( AB \) как \( M \), а с хордой \( CD \) как \( N \). 3. **Свойства перпендикуляров**: По свойству перпендикуляров, точка \( M \) (середина хорды \( AB \)) будет находиться на одинаковом расстоянии от концов хорд, а именно \( AM = MB \). Поскольку хорды равны, то \( AM = BM = \frac{AB}{2} \). 4. **Используем теорему Пифагора**. В треугольниках \( OAM \) и \( OCN \) можно применить теорему Пифагора: \[ OM^2 + AM^2 = OA^2 \] \[ ON^2 + CN^2 = OC^2 \] Учитывая, что \( OA = OC = R \) (радиусы окружности), а \( AM = CN = \frac{AB}{2} \), мы можем записать: \[ OM^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = R^2 \] \[ ON^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2 = R^2 \] 5. **Сравниваем расстояния**. Поскольку \( AB = CD \), то \( \frac{AB}{2} = \frac{CD}{2} \). Это означает, что \( OM^2 = ON^2 \), следовательно \( OM = ON \). Таким образом, мы приходим к заключению, что расстояния от центра окружности до любых двух равных хорд равны. Это и подтверждает, что равные хорды окружности равноудалены от её центра. Данное доказательство основано на геометрических свойствах окружности и символизирует важную концепцию в евклидовой геометрии.