Смешав 20-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 5кг чистой воды, получили 33-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5кг 40- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 43-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 20-процентного раствора использовали для получения смеси?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество 20-процентного раствора как \( x \) кг, а количество 60-процентного раствора как \( y \) кг.
У нас есть две ситуации, описанные в задаче, и из них можно получить систему уравнений.
1. Когда мы добавляем 5 кг чистой воды и получаем 33-процентный раствор:
\[
\frac{0,2x + 0,6y}{x + y + 5} = 0,33
\]
Умножим обе стороны на \( x + y + 5 \):
\[
0,2x + 0,6y = 0,33(x + y + 5)
\]
Раскроем скобки:
\[
0,2x + 0,6y = 0,33x + 0,33y + 1,65
\]
Переносим все влево и упрощаем:
\[
0,2x + 0,6y - 0,33x - 0,33y - 1,65 = 0
\]
\[
-0,13x + 0,27y - 1,65 = 0
\]
Умножим на -100, чтобы избавиться от дробей:
\[
13x - 27y + 165 = 0 \quad (1)
\]
2. Когда вместо 5 кг воды добавляем 5 кг 40-процентного раствора:
\[
\frac{0,2x + 0,6y + 0,4 \cdot 5}{x + y + 5} = 0,43
\]
Умножим обе стороны на \( x + y + 5 \):
\[
0,2x + 0,6y + 2 = 0,43(x + y + 5)
\]
Раскроем скобки:
\[
0,2x + 0,6y + 2 = 0,43x + 0,43y + 2,15
\]
Переносим все влево и упрощаем:
\[
0,2x + 0,6y - 0,43x - 0,43y + 2 - 2,15 = 0
\]
\[
-0,23x + 0,17y - 0,15 = 0
\]
Умножим на -100:
\[
23x - 17y + 15 = 0 \quad (2)
\]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1. \( 13x - 27y + 165 = 0 \)
2. \( 23x - 17y + 15 = 0 \)
Решим эту систему методом подстановки или методом исключения. Начнем с уравнения (1):
Выразим \( y \) через \( x \):
\[
27y = 13x + 165
\]
\[
y = \frac{13x + 165}{27} \quad (3)
\]
Теперь подставим (3) в уравнение (2):
\[
23x - 17\left(\frac{13x + 165}{27}\right) + 15 = 0
\]
Умножим на 27, чтобы избавиться от дробей:
\[
621x - 17(13x + 165) + 405 = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
621x - 221x - 2805 + 405 = 0
\]
Соберём все \( x \):
\[
400x - 2400 = 0
\]
\[
400x = 2400
\]
\[
x = 6
\]
Теперь найдем \( y \), подставив \( x \) в (3):
\[
y = \frac{13 \cdot 6 + 165}{27} = \frac{78 + 165}{27} = \frac{243}{27} = 9
\]
Таким образом, количество 20-процентного раствора составляет **6 кг**.
