про случайную величину х известно, что ex= -2, dx=18. при помощи неравенства чебышёва оцените вероятность события «x s-11 или x27»
Для оценки вероятности события с помощью неравенства Чебышёва, нам нужно сначала определить, что мы ищем. В данном случае, нас интересует вероятность того, что случайная величина \(X\) будет находиться в пределах \(x \leq -11\) или \(x \geq 27\).
Находим математическое ожидание и стандартное отклонение:
- Из условия задачи: \(E(X) = -2\) и \(D(X) = 18\). Стандартное отклонение будет равно \(\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{18} \approx 4.24\).
Определяем границы для неравенства Чебышёва:
Мы ищем границы \(x \leq -11\) и \(x \geq 27\).
Сначала находим отклонения от математического ожидания для каждой границы:
Для \(x = -11\): \[ k_1 = \frac{-11 - (-2)}{\sigma} = \frac{-11 + 2}{4.24} = \frac{-9}{4.24} \approx -2.12 \]
Для \(x = 27\): \[ k_2 = \frac{27 - (-2)}{\sigma} = \frac{27 + 2}{4.24} = \frac{29}{4.24} \approx 6.84 \]
Применяем неравенство Чебышёва:
- Неравенство Чебышёва гласит, что для любой \(k > 0\): \[ P(|X - E(X)| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
Мы можем применить это неравенство к обеим границам.
Для первой границы (\(k_1\)): \[ P(X \leq -11) = P(|X - (-2)| \geq |-9|) \leq P(|X - E(X)| \geq |k_1| \cdot \sigma) \] То есть: \[ P(X \leq -11) \leq \frac{1}{(-2.12)^2} \approx 0.223 \]
Для второй границы (\(k_2\)): \[ P(X \geq 27) = P(|X - (-2)| \geq |29|) \leq P(|X - E(X)| \geq |k_2| \cdot \sigma) \] То есть: \[ P(X \geq 27) \leq \frac{1}{(6.84)^2} \approx 0.0213 \]
Общая вероятность: Суммарная вероятность события \(X \leq -11\) или \(X \geq 27\): \[ P(X \leq -11 \text{ или } X \geq 27) \leq P(X \leq -11) + P(X \geq 27) \leq 0.223 + 0.0213 \approx 0.2443 \]
Таким образом, по неравенству Чебышёва, вероятность события «\(X \leq -11\) или \(X \geq 27\)» оценивается как не более \(0.2443\) или \(24.43\%\).
