Чтобы решить задачу о разбиении группы из 20 студентов на три подгруппы с разными численностями (6, 9 и 5 человек), нужно воспользоваться формулой для подсчёта способов выбора и учётом порядка групп.
Сначала выбираем 6 студентов из 20 для первой подгруппы. Это можно сделать (C(20, 6)) способов.
Затем, из оставшихся 14 студентов, выбираем 9 для второй подгруппы. Это можно сделать (C(14, 9)) способов.
Оставшиеся 5 студентов автоматически составят третью подгруппу. Количество способов выбора третьей подгруппы всегда будет равно 1, так как это уже определенные студенты.
Полученная формула будет выглядеть следующим образом:
[
C(20, 6) \times C(14, 9)
]
Однако нужно учесть, что сами подгруппы неразличимы (группу из 6, группу из 9 и группу из 5 нельзя перепутать), следовательно, нужно разделить на количество возможных перестановок групп, что составляет (3!).
Таким образом, окончательная формула будет:
[
\frac{C(20, 6) \times C(14, 9)}{3!}
]
Теперь подставим значения:
[
C(20, 6) = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6!14!}
]
[
C(14, 9) = C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!}
]
После подстановки и вычислений получаем количество способов:
- Сначала посчитаем (C(20, 6)):
[
C(20, 6) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 38760
]
- Затем посчитаем (C(14, 9)):
[
C(14, 9) = C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002
]
Теперь подставляем эти числа в нашу формулу:
[
\frac{38760 \times 2002}{6} = \frac{77515200}{6} = 12919200
]
Таким образом, группировка студентов в подгруппы может быть выполнена 12,919,200 способов.
