Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, существует формула:
[ R = \frac{abc}{4S}, ]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — длины сторон треугольника, а ( S ) — площадь треугольника.
В вашем случае две стороны равны ( a = 4 ) и ( b = 6 ), а угол между ними ( C = 30^\circ ).
- Сначала найдем третью сторону ( c ) треугольника, используя закон косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C).
]
Подставим значения:
[
c^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ).
]
Значение ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
c^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 52 - 24\sqrt{3}.
]
- Теперь найдем площадь ( S ) треугольника с помощью формулы:
[
S = \frac{1}{2}ab \sin(C).
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ).
]
Значение ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{12}{2} = 6.
]
- Теперь можем подставить все найденные значения в формулу для ( R ):
Сначала посчитаем ( c ):
[
c = \sqrt{52 - 24\sqrt{3}}.
]
- Теперь подставляем ( a ), ( b ), ( c ) и ( S ) в формулу для радиуса:
[
R = \frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{52 - 24\sqrt{3}}}{4 \cdot 6} = \sqrt{52 - 24\sqrt{3}}.
]
Следовательно, радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен:
[
R = \sqrt{52 - 24\sqrt{3}}.
]
Таким образом, вы нашли радиус окружности, описанной около треугольника с заданными сторонами и углом.
