Предположим, ABC - равнобедренный треугольник. При соединении середин сторон AB, BC и AC образуется треугольник XYZ. Чтобы доказать, что XYZ тоже равнобедренный треугольник, нужно доказать, что XY = XZ или YZ = XZ. Докажем, например, что XY = XZ.
По определению, середина стороны AB - это точка M, для которой AM = MB. Середина стороны AC обозначается как N, поэтому AN = NC.
Используем свойство серединного перпендикуляра: если прямая AD - серединный перпендикуляр к стороне BC, то AD ⊥ BC и AD = BD = CD.
Таким образом, получаем, что AN ⊥ XY и AN = NC, а также AM ⊥ XZ и AM = MB.
Из этого следует, что треугольник ANM и треугольник XNC - это прямоугольные треугольники, в которых гипотенузы равны.
Теперь рассмотрим треугольники ANM и XNC. У них есть две равные стороны (AN = NC и AM = MB) и равные гипотенузы (AN = NC).
По правилу равенства треугольников (HSK), можно заключить, что треугольники ANM и XNC равны.
Так как два угла прямоугольного треугольника равны, углы ∠AXY и ∠AXZ также равны.
Отсюда следует, что два треугольника ABC и XYZ равнобедренные и у них совпадают две стороны и равны два угла. Поэтому середины сторон равнобедренного треугольника ABC являются вершинами другого равнобедренного треугольника XYZ.
