7.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известны длины рёбер: AB = 35, AD = 35, AA1
= 5√2. Найдите расстояние от точки А до прямой СА1.
Ответ:
Чтобы найти расстояние от точки A до прямой CA1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, начнем с определения координат точек.
1. Установим координаты точек:
- A(0, 0, 0)
- B(35, 0, 0)
- C(35, 35, 0)
- D(0, 35, 0)
- A1(0, 0, 5√2)
- B1(35, 0, 5√2)
- C1(35, 35, 5√2)
- D1(0, 35, 5√2)
2. Найдем вектор CA1:
- C - A1 = (35, 35, 0) - (0, 0, 5√2) = (35, 35, -5√2)
3. Теперь запишем уравнение прямой CA1 в параметрической форме. Если t – параметр, то:
- x = 35t
- y = 35t
- z = 5√2(1 - t)
4. Теперь найдем вектор, указывающий от точки A до точки на прямой CA1. Для этого подставим t = 0 (точка A1):
- Вектор A до A1 = (0, 0, 5√2) - (0, 0, 0) = (0, 0, 5√2)
5. Теперь найдем расстояние d от точки A до прямой CA1 с помощью формулы, которая включает величину векторного произведения:
\[ d = \frac{|(AB \times AC) \cdot (A - A1)|}{|AB \times AC|} \]
В нашем случае векторы AB и AC:
- AB = B - A = (35, 0, 0) - (0, 0, 0) = (35, 0, 0)
- AC = C - A = (35, 35, 0) - (0, 0, 0) = (35, 35, 0)
6. Находим векторное произведение AB × AC:
\[
AB \times AC = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
35 & 0 & 0 \\
35 & 35 & 0
\end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 35)\hat{i} - (35 \cdot 0 - 0 \cdot 35)\hat{j} + (35 \cdot 35 - 0 \cdot 35)\hat{k} = (0, 0, 1225)
\]
7. Мы видим, что |AB × AC| = 1225.
8. Теперь найдем скалярное произведение:
\[
(AB \times AC) \cdot (A - A1) = (0, 0, 1225) \cdot (0, 0, 5\sqrt{2}) = 1225 \cdot 5\sqrt{2} = 6125\sqrt{2}
\]
9.Теперь подставим все в формулу для расстояния:
\[
d = \frac{|6125\sqrt{2}|}{1225} = 5\sqrt{2}
\]
Таким образом, расстояние от точки A до прямой CA1 равно \( 5\sqrt{2} \).
