Аделина,Эвелина,Паулина писали олимпиаду по математике,где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов.После объявления итогов…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \( A \) — это количество баллов, которое набрала Аделина, \( E \) — баллы Эвелина, и \( P \) — баллы Паулина.

Из условий задачи мы имеем следующие уравнения:

1. \( A = E \) (Аделина и Эвелина набрали одинаковое количество баллов).
2. \( A + E > 31 \).
3. \( A + E + P < 70 \).
4. \( A + E + P = \frac{7}{2} P \) (сумма баллов всех троих девочек в три целых одна вторая раза больше, чем набрала Паулина).

Теперь подставим \( E \) в уравнения, где это возможно. Так как \( A = E \), можем переписать некоторые уравнения:

1. \( 2A > 31 \) → \( A > 15.5 \) → \( A \geq 16 \) (так как баллы целые).
2. \( 2A + P < 70 \).
3. \( 2A + P = \frac{7}{2} P \).

Решим уравнение 3. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 4A + 2P = 7P \].

Переносим \( 2P \) на другую сторону:

\[ 4A = 5P \].

Получаем, что:

\[ P = \frac{4}{5} A \].

Теперь подставим это значение в уравнение 2:

\[ 2A + \frac{4}{5} A < 70 \].

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{10}{5} A + \frac{4}{5} A < 70 \] \[ \frac{14}{5} A < 70 \].

Умножим обе стороны на 5:

\[ 14A < 350 \]. \[ A < 25 \].

Теперь у нас есть система неравенств:

1. \( A \geq 16 \).
2. \( A < 25 \).

Таким образом, \( A \) может принимать значения от 16 до 24 включительно.

Однако, вернемся к неравенству \( 2A > 31 \):

При \( A = 16 \): \( 2 \cdot 16 = 32 > 31\), выполняется. При \( A = 24 \): \( 2 \cdot 24 = 48 > 31\), также выполняется.

Таким образом, возможные целые значения для \( A \) — это 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, и 24.

Теперь подставим найденные значения в условие с \( P \) и посмотрим, какое максимальное значение возможно, при условии, что сумма меньше 70.

Для \( A = 24 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 24 = 19.2 \] — не подходит. Для \( A = 23 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 23 = 18.4 \] — не подходит. Для \( A = 22 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 22 = 17.6 \] — не подходит. Для \( A = 21 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 21 = 16.8 \] — не подходит. Для \( A = 20 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 20 = 16 \] — подходит, если сумма баллов \( 40 + 16 < 70 \). Для \( A = 19 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 19 = 15.2 \] — не подходит. Для \( A = 18 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 18 = 14.4 \] — не подходит. Для \( A = 17 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 17 = 13.6 \] — не подходит. Для \( A = 16 \): \[ P = \frac{4}{5} \times 16 = 12.8 \] — не подходит.

Таким образом, распределение и пределы приводят к тому, что Аделина набрала 20 баллов на олимпиаде.