Для решения задачи о треугольнике ABC, где известны длина стороны AC (9√3 см) и углы B (60°) и C (45°), мы можем использовать теорему синусов.
Сначала найдем угол A. Сумма углов в треугольнике равна 180°:
[
\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 60° - 45° = 75°.
]
Теперь применим теорему синусов, которая гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где a, b и c — стороны треугольника, противоположные углам A, B и C соответственно. В нашем случае:
- AC = c = 9√3 см (противоположная углу B),
- AB = a (противоположная углу C),
- BC = b (противоположная углу A).
Поэтому можем записать:
[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{9\sqrt{3}}{\sin 60°}.
]
Значения синусов мы знаем:
(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}).
Теперь подставим их в уравнение:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
]
Упростим правую часть уравнения:
[
\frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18.
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18.
]
Умножим обе стороны на (\frac{\sqrt{2}}{2}):
[
AB = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \text{ см.}
]
Таким образом, сторона AB треугольника равна (9\sqrt{2}) см.
