На Марсе принято давать детям двойные имена.Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке.Так,например имя Астра Вега допустимо,а Астра Астра или Вега Астра -нет. В некоторой компании среди любых 5 людей есть хотя бы одна Астра , а среди любых четырёх- хотя бы одна Вега.Полных тёзок,совпадающих по обоим именам,нет.Какое наибольшее количество человек может быть в компании

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем условия. 1. **Двойные имена** — это имена, которые представлены в виде "Имя1 Имя2". Например, "Астра Вега". 2. **Имена не должны повторяться** и все имена идут в алфавитном порядке, то есть "Астра" должно быть первым, а "Вега" — вторым. 3. В любой группе из 5 людей должна быть по крайней мере одна "Астра", а в любой группе из 4 людей — по крайней мере одна "Вега". 4. Полных тёзок нет, это означает, что нет людей с одинаковыми именами, что делает задачу более интересной. Теперь давайте попробуем понять, какое наибольшее количество человек может быть в компании, учитывая вышеупомянутое. ### Шаги для решения: - Пусть у нас будет **n** людей в компании. Обозначим количество людей с именем "Астра" как **a**, а количество людей с именем "Вега" как **b**. - Из условия, что среди любых 5 людей хотя бы одна "Астра", мы можем сделать вывод, что если бы в компании было только 4 "Вега", то среди этих 4 не было бы "Астры". Поэтому должно выполняться условие: **a ≥ n - 4**, то есть минимум **n - 4** человек должны быть "Астра". - Аналогично, из условия, что среди любых 4 людей должна быть хотя бы одна "Вега", следует, что если бы в компании было 3 "Астра", то среди этих 3 не было бы "Вега". Таким образом, должно выполняться условие: **b ≥ n - 3**, то есть минимум **n - 3** человек должны быть "Вега". ### Определим максимальное значение n: Теперь мы имеем две неравенства: 1. \( a ≥ n - 4 \) 2. \( b ≥ n - 3 \) При этом, учитывая, что полных тёзок нет, то: - Всего разных имен < \( a + b\) ≤ n (где каждое имя уникально). Так как у нас два различных имени с условием на количество, то возможные крайние сочетания должны удовлетворять всем условиям. #### Подставим n: Пусть n = 7. - Тогда по первому условию \( a ≥ 7 - 4 = 3 \) и по второму условию \( b ≥ 7 - 3 = 4 \). - Это возможно, если у нас будет 3 "Астры" и 4 "Веги". Пример: "Астра Вега1", "Астра Вега2", "Астра Вега3", "Вега Астра1", "Вега Астра2", "Вега Астра3", "Вега Астра4". При \( n = 7 \) все условия выполняются, и каждая группа из 5 будет включать хотя бы одну "Астру", а группа из 4 — хотя бы одну "Вегу". #### Проверим для n = 8: - \( a ≥ 8 - 4 = 4 \) и \( b ≥ 8 - 3 = 5 \). Это значит, что нам нужно уже 9 уникальных имен (4 "Астры" + 5 "Вег"). Это превышает количество уникальных двойных имен. Итак, наибольшее количество людей, которое может быть в компании, равно **7**.