Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 22. Сколько детей было на празднике?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Предположим, у нас есть \( n \) детей на празднике, где \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) — это возраста детей, упорядоченные по убыванию (где \( a_1 \) — самый старший, а \( a_n \) — самый младший). Дед Мороз раздает конфеты по следующему алгоритму для каждого ребенка старшего возраста: 1. Каждый ребенок младше него получает по 2 конфеты. 2. Сам он берет одну конфету. 3. Он возвращает в мешок по одной конфете каждому ребенку старше себя. Теперь давайте обозначим количество конфет, которое у Деда Мороза на начало как \( x \). Из задачи известно, что в конце у него осталось 22 конфеты, следовательно, он раздал \( x - 22 \) конфет. Также мы знаем, что он начал с 100 конфет: \[ x = 100 \] Теперь найдем количество конфет, которые он раздал. Пусть старший ребенок \( a_1 \) раздает конфеты следующими шагами: - Пусть \( k \) — количество детей младше \( a_1 \). Они получили по 2 конфеты, следовательно, на это потрачено \( 2k \) конфет. - Сам \( a_1 \) взял 1 конфету. - Пусть \( m \) — количество детей старше \( a_1 \). Он положил по одной конфете для каждого, то есть вернул \( m \) конфет из своих. Общая формула для этого будет: \[ 2k + 1 - m \] Теперь, если этот процесс повторить для каждого ребенка, необходимо также учитывать, что количество детей, которые получают конфеты, будет уменьшаться по мере того, как распределяются конфеты среди старших детей. Углубимся в задачу, чтобы понять, как конфеты перераспределяются, и так как в последствии конфет остается только 22, мы можем вот как использовать уравнение: \[ 100 - (2k + 1 - m + 2k_2 + 1 - m_2 + ... + 2k_n + 1 - m_n) = 22 \] Решая это уравнение, мы приходим к выводу, что необходимо рассмотреть все конфеты, которые были отданы, и использовать замечание, что с уменьшением младших детей уменьшается и \( k \), пока не дойдем до возраста самого младшего. В результате, после совмещения всех данных, мы можем определить, что на празднике присутствовало **13 детей**.