Чтобы решить выражение (\sqrt{1024} \times \sqrt{512} \times \sqrt{256} \times \sqrt{16} \times \sqrt{8} \times \sqrt{4}), мы можем воспользоваться свойством корней:
[
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}.
]
Таким образом, можно объединить все корни в один:
[
\sqrt{1024 \times 512 \times 256 \times 16 \times 8 \times 4}.
]
Теперь давайте представим каждое из чисел в виде степеней двойки:
- (1024 = 2^{10})
- (512 = 2^9)
- (256 = 2^8)
- (16 = 2^4)
- (8 = 2^3)
- (4 = 2^2)
Теперь можем привести все числа в одно выражение:
[
1024 \times 512 \times 256 \times 16 \times 8 \times 4 = 2^{10} \times 2^9 \times 2^8 \times 2^4 \times 2^3 \times 2^2.
]
Используя свойства степеней, мы складываем показатели:
[
10 + 9 + 8 + 4 + 3 + 2 = 36.
]
Таким образом, мы получаем:
[
1024 \times 512 \times 256 \times 16 \times 8 \times 4 = 2^{36}.
]
Теперь подставим это в корень:
[
\sqrt{2^{36}} = 2^{36/2} = 2^{18}.
]
Следовательно, окончательный результат:
[
\sqrt{1024} \times \sqrt{512} \times \sqrt{256} \times \sqrt{16} \times \sqrt{8} \times \sqrt{4} = 2^{18}.
]
Это значение можно также вычислить:
[
2^{18} = 262144.
]
Таким образом, ответ равен (262144).