Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с условиями.
Вася нарисовал прямоугольник размером 9 × 8 на клетчатой сетке. Внутри этого прямоугольника он хочет нарисовать квадрат с вершинами в узлах сетки. Прежде всего, давайте определим количество узлов сетки внутри данного прямоугольника.
Так как прямоугольник имеет ширину 9 клеток и высоту 8 клеток, количество узлов по горизонтали будет 9 + 1 = 10, а по вертикали 8 + 1 = 9, то есть у нас есть 10 узлов по горизонтали и 9 по вертикали.
Теперь, чтобы нарисовать квадрат, требуется выбрать 4 узла, которые будут его вершинами. Основная идея заключается в том, что квадрат среди данных узлов может быть нарисован не только в виде параллельного прямоугольнику, но и под углом.
Чтобы определить, сколько различных размеров квадратов можно нарисовать, рассмотрим различные возможные длины стороны квадрата. Мы можем основываться на том, что сторона квадрата может варьироваться от 1 до максимально возможного размера, который ограничивается меньшей из размеров прямоугольника.
Максимальный размер квадрата будет меньше или равен 8 клеткам (так как по высоте 8 клеток):
- Квадраты со стороной 1: 1 × 1
- Квадраты со стороной 2: 2 × 2
- Квадраты со стороной 3: 3 × 3
- Квадраты со стороной 4: 4 × 4
- Квадраты со стороной 5: 5 × 5
- Квадраты со стороной 6: 6 × 6
- Квадраты со стороной 7: 7 × 7
- Квадраты со стороной 8: 8 × 8
Это значит, что возможные размеры квадратов могут быть от 1 до 8. Каждая длина стороны квадрата создаёт квадрат с квадратной площадью.
Теперь подсчитаем различные площади этих квадратов:
- Площадь квадрата со стороной 1: 1
- Площадь квадрата со стороной 2: 4
- Площадь квадрата со стороной 3: 9
- Площадь квадрата со стороной 4: 16
- Площадь квадрата со стороной 5: 25
- Площадь квадрата со стороной 6: 36
- Площадь квадрата со стороной 7: 49
- Площадь квадрата со стороной 8: 64
Сократим найденные площади:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и 64.
Теперь вы можете заметить, что каждая площадь различна. Это означает, что Вася может получить 8 различных площадей для квадратов, которые он может нарисовать внутри своего прямоугольника 9 × 8.
Таким образом, ответ на вопрос: Вася может нарисовать 8 различных вариантов площадей квадратов.