№ 5 Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому…
№ 5 Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее: раздал из мешка по 2 конфеты каждому ребёнку младше себя; взял одну конфету себе; • из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя. Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него а мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике
Чтобы решить задачу, давай проанализируем все шаги.
- Пусть \( n \) — количество детей на празднике.
- Обозначим детей по возрасту: пусть \( d_1, d_2, \ldots, d_n \) — это старший ребенок, затем младший и так далее, где \( d_1 \) — самый старший, а \( d_n \) — самый младший.
Каждый ребенок старше раздает по 2 конфеты всем малышам (тем, кто младше его):
- \( d_1 \) раздает конфеты \( d_2, d_3, \ldots, d_n \)
- \( d_2 \) раздает конфеты \( d_3, \ldots, d_n \)
- и так далее.
Каждый раз, когда ребенок раздает конфеты, он берет одну конфету для себя. Затем он кладет в мешок по одной конфете для каждого, кто старше его.
Общее количество конфет, которое Дед Мороз принес с собой, равно 100.
Из условия задачи мы знаем, что после раздачи конфет у Деда Мороза осталось 9 конфет в мешке, что означает, что он отдал 100 - 9 = 91 конфету.
Теперь посмотрим, как именно Дед Мороз отдает конфеты:
- Каждый старший ребенок раздает 2 конфеты каждому младшему.
- Каждый из них берет 1 конфету для себя.
- Каждый из них добавляет по 1 конфете для всех, кто старше его.
Сначала посчитаем общее количество конфет, которое раздается. Если \( k \) — количество детей, которые младше каждого конкретного ребенка, тогда тот, кто старше, раздает \( 2k \) конфет и берет 1 себе, что в сумме дает \( 2k + 1 \) конфет, но затем добавляет по одной конфете для детей старше себя.
Допустим, есть \( n \) детей. Общее количество конфет, которое они раздают, включает в себя:
- У старшего \( d_1 \) есть \( n-1 \) детей младше, и он отдал \( 2(n-1) \) + 1 = \( 2(n-1) + 1 \).
- У второго старшего, \( d_2 \), есть \( n-2 \) младших: \( 2(n-2) + 1 \).
- У каждого следующего каждый раз уменьшается соответствующее количество на 1.
Сложив все эти раздачи, можем выразить общее количество: \[ \text{Общее количество конфет} = 2(n-1) + 2(n-2) + ... + 2 \cdot 1 + n = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + n \]
Это выражение упростится до: \[ n^2 - n + n \Rightarrow n^2 \]
Итак, мы знаем, что Дед Мороз отдает 91 конфету: \[ n^2 = 91 \]
Следовательно, \( n = 9 \) (так как \( 9^2 = 81 \), а 10 уже слишком много).
Таким образом, на празднике было 9 детей.
