Чтобы решить задачу, давай проанализируем все шаги.
- Пусть ( n ) — количество детей на празднике.
- Обозначим детей по возрасту: пусть ( d_1, d_2, \ldots, d_n ) — это старший ребенок, затем младший и так далее, где ( d_1 ) — самый старший, а ( d_n ) — самый младший.
Каждый ребенок старше раздает по 2 конфеты всем малышам (тем, кто младше его):
- ( d_1 ) раздает конфеты ( d_2, d_3, \ldots, d_n )
- ( d_2 ) раздает конфеты ( d_3, \ldots, d_n )
- и так далее.
Каждый раз, когда ребенок раздает конфеты, он берет одну конфету для себя. Затем он кладет в мешок по одной конфете для каждого, кто старше его.
Общее количество конфет, которое Дед Мороз принес с собой, равно 100.
Из условия задачи мы знаем, что после раздачи конфет у Деда Мороза осталось 9 конфет в мешке, что означает, что он отдал 100 - 9 = 91 конфету.
Теперь посмотрим, как именно Дед Мороз отдает конфеты:
- Каждый старший ребенок раздает 2 конфеты каждому младшему.
- Каждый из них берет 1 конфету для себя.
- Каждый из них добавляет по 1 конфете для всех, кто старше его.
Сначала посчитаем общее количество конфет, которое раздается. Если ( k ) — количество детей, которые младше каждого конкретного ребенка, тогда тот, кто старше, раздает ( 2k ) конфет и берет 1 себе, что в сумме дает ( 2k + 1 ) конфет, но затем добавляет по одной конфете для детей старше себя.
Допустим, есть ( n ) детей. Общее количество конфет, которое они раздают, включает в себя:
- У старшего ( d_1 ) есть ( n-1 ) детей младше, и он отдал ( 2(n-1) ) + 1 = ( 2(n-1) + 1 ).
- У второго старшего, ( d_2 ), есть ( n-2 ) младших: ( 2(n-2) + 1 ).
- У каждого следующего каждый раз уменьшается соответствующее количество на 1.
Сложив все эти раздачи, можем выразить общее количество:
[
\text{Общее количество конфет} = 2(n-1) + 2(n-2) + ... + 2 \cdot 1 + n = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + n
]
Это выражение упростится до:
[
n^2 - n + n \Rightarrow n^2
]
Итак, мы знаем, что Дед Мороз отдает 91 конфету:
[
n^2 = 91
]
Следовательно, ( n = 9 ) (так как ( 9^2 = 81 ), а 10 уже слишком много).
Таким образом, на празднике было 9 детей.