Давайте разберёмся с задачей по порядку.
Артём записал четырёхзначное число, состоящее из двух старших и двух младших разрядов, которые образуют последовательные двузначные числа. Обозначим старшие разряды как (ab) и младшие как (cd), где (ab) – это большее двузначное число, а (cd) – меньшее. Поскольку числа должны быть последовательными, можно записать их как:
где (n) – двузначное число.
Таким образом, наше четырёхзначное число можно записать как:
[
N = 1000 \cdot (n + 1) + 100 \cdot (n + 1) + 10 \cdot n + n = 1000(n + 1) + 100(n + 1) + 10n + n = 1100n + 1100 = 1100(n + 1)
]
Теперь важно учитывать условие, что число делится на 51. Значит, нам нужно проверить, для каких (n) число (N) делится на 51.
Так как 1100 можно разложить на простые множители, нам нужно выяснить делится ли это число на 51. Для этого найдем наименьшее общее кратное:
[
51 = 3 \times 17.
]
Теперь проверим, делится ли (1100) на (3) и (17).
Для делимости на (3): сумма цифр числа (1100) равна (1 + 1 + 0 + 0 = 2). Значит, (1100) не делится на (3).
Для делимости на (17): (1100 \div 17 \approx 64.705). Это не целое число, следовательно, тоже не делится.
Таким образом, чтобы (N) делился на (51), нам нужно, чтобы (n + 1) было кратно (51).
Запишем (N) в виде:
[
N = 1100(n + 1)
]
Теперь, (n + 1) необходимо делать кратным (51):
Пусть (m = n + 1). Поскольку (n) должно быть двузначным, (n) может принимать значения от (10) до (99), следовательно, (m) может принимать значения от (11) до (100).
Теперь определим (m), кратные (51) в диапазоне:
- (51)
- (102) (но (102) — это трехзначное, не подходит)
Следовательно (m = 51), что даёт (n = 50).
Теперь, подставляя (n) обратно, мы получаем:
- Старшие разряды (ab = 51)
- Младшие разряды (cd = 50)
Таким образом, записанное число Артёма: (5150).
А теперь, если проверим на делимость на (51):
[
5150 \div 51 = 101
]
Это число делится на (51).
Следовательно, единственное подходящее число, которое мог записать Артём, – это 5150.