Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция y = 4x - 9 возрастает. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 6/(x + 2) на отрезке [- 1/2; - 1/3]

Давайте рассмотрим ваш вопрос шаг за шагом.

1. Доказательство, что функция \( y = 4x - 9 \) возрастает.

Функция \( y = 4x - 9 \) является линейной функцией, и её можно записать в стандартной форме \( y = mx + b \), где \( m \) – это коэффициент наклона, а \( b \) – свободный член. В нашем случае \( m = 4 \) и \( b = -9 \).

Чтобы доказать, что функция возрастает, мы можем использовать следующий аргумент:

• Если коэффициент наклона \( m > 0 \), то функция возрастает. В данном случае: \[ m = 4 > 0 \] Это означает, что функция возрастающая на всей числовой прямой.

Таким образом, \( y = 4x - 9 \) – возрастающая функция.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \frac{6}{x + 2} \) на отрезке \( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] \).

Для нахождения крайних значений функции на заданном отрезке сначала мы определим значения функции на границах отрезка, а также найдем производную функции, чтобы выяснить, есть ли критические точки внутри отрезка.

Шаг 1: Найдем значения на границах отрезка.

1. При \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{-\frac{1}{2} + 2} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4 \]

2. При \( x = -\frac{1}{3} \): \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{6}{-\frac{1}{3} + 2} = \frac{6}{\frac{5}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \]

Шаг 2: Найдем производную функции для проверки критических точек.

Находим производную: \[ y = \frac{6}{x + 2} \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{6}{(x + 2)^2} \] Так как производная отрицательна для всех \( x \) в области определения функции (кроме \( x = -2 \), что не входит в рассматриваемый отрезок), это подтверждает, что функция убывает на отрезке \( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] \).

Итог:

• Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] \) происходит при \( x = -\frac{1}{3} \): \[ y_{min} = 3.6 \]

• Наибольшее значение функции \( y \) на отрезке \( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] \) происходит при \( x = -\frac{1}{2} \): \[ y_{max} = 4 \]

Таким образом, наименьшее значение \( y = 3.6 \), а наибольшее значение \( y = 4 \).