Давайте рассмотрим ваш вопрос шаг за шагом.
1. Доказательство, что функция ( y = 4x - 9 ) возрастает.
Функция ( y = 4x - 9 ) является линейной функцией, и её можно записать в стандартной форме ( y = mx + b ), где ( m ) – это коэффициент наклона, а ( b ) – свободный член. В нашем случае ( m = 4 ) и ( b = -9 ).
Чтобы доказать, что функция возрастает, мы можем использовать следующий аргумент:
- Если коэффициент наклона ( m > 0 ), то функция возрастает. В данном случае:
[
m = 4 > 0
]
Это означает, что функция возрастающая на всей числовой прямой.
Таким образом, ( y = 4x - 9 ) – возрастающая функция.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции ( y = \frac{6}{x + 2} ) на отрезке ( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] ).
Для нахождения крайних значений функции на заданном отрезке сначала мы определим значения функции на границах отрезка, а также найдем производную функции, чтобы выяснить, есть ли критические точки внутри отрезка.
Шаг 1: Найдем значения на границах отрезка.
При ( x = -\frac{1}{2} ):
[
y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{-\frac{1}{2} + 2} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4
]
При ( x = -\frac{1}{3} ):
[
y\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{6}{-\frac{1}{3} + 2} = \frac{6}{\frac{5}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6
]
Шаг 2: Найдем производную функции для проверки критических точек.
Находим производную:
[
y = \frac{6}{x + 2} \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{6}{(x + 2)^2}
]
Так как производная отрицательна для всех ( x ) в области определения функции (кроме ( x = -2 ), что не входит в рассматриваемый отрезок), это подтверждает, что функция убывает на отрезке ( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] ).
Итог:
Наименьшее значение функции ( y ) на отрезке ( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] ) происходит при ( x = -\frac{1}{3} ):
[
y_{min} = 3.6
]
Наибольшее значение функции ( y ) на отрезке ( [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}] ) происходит при ( x = -\frac{1}{2} ):
[
y_{max} = 4
]
Таким образом, наименьшее значение ( y = 3.6 ), а наибольшее значение ( y = 4 ).
