352. Страховой полис на один год стоит 8000 р. Страховые случаи делятся на 3 категории: с малым (10 000 р.), средним (50.000 р.) и большим (500 000 р.) ущербом. При этом каждый из…
352. Страховой полис на один год стоит 8000 р. Страховые случаи делятся на 3 категории: с малым (10 000 р.), средним (50.000 р.) и большим (500 000 р.) ущербом. При этом каждый из этих случаев возникает в течение года с вероятностями 0,1, 0,05 и 0,002 соответственно. Найдите дисперсию и стандартное отклонение страховой выплаты по полису в течение года. Сделайте то же самое для дохода, который компания получает с одного полиса,
Для решения задачи, необходимо сначала рассчитать ожидаемую выплату по страховому полису, затем дисперсию и стандартное отклонение.
- Ожидаемая выплата (E) по полису:
Давайте обозначим:
- Ущерб с малым ущербом — X1 = 10,000 р. (вероятность 0,1)
- Ущерб со средним ущербом — X2 = 50,000 р. (вероятность 0,05)
- Ущерб с большим ущербом — X3 = 500,000 р. (вероятность 0,002)
- Вероятность отсутствия ущерба — P0 = 1 - (0,1 + 0,05 + 0,002) = 0,848
Теперь мы можем рассчитать ожидаемую выплату:
\[ E(X) = (X1 \cdot P1) + (X2 \cdot P2) + (X3 \cdot P3) + (0 \cdot P0) \]
\[ E(X) = (10,000 \cdot 0.1) + (50,000 \cdot 0.05) + (500,000 \cdot 0.002) + (0 \cdot 0.848) \]
\[ E(X) = 1,000 + 2,500 + 1,000 = 4,500 \text{ р.} \]
- Дисперсия (D) выплата:
Теперь рассчитаем дисперсию, используя формулу:
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
Сначала найдем \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = (X1^2 \cdot P1) + (X2^2 \cdot P2) + (X3^2 \cdot P3) + (0^2 \cdot P0) \]
\[ E(X^2) = (10,000^2 \cdot 0.1) + (50,000^2 \cdot 0.05) + (500,000^2 \cdot 0.002) \]
\[ E(X^2) = (100,000,000 \cdot 0.1) + (2,500,000,000 \cdot 0.05) + (250,000,000,000 \cdot 0.002) \]
\[ E(X^2) = 10,000,000 + 125,000,000 + 500,000,000 = 635,000,000 \]
Теперь подставим все значения для дисперсии:
\[ D(X) = 635,000,000 - (4,500)^2 \]
\[ D(X) = 635,000,000 - 20,250,000 = 614,750,000 \]
- Стандартное отклонение (σ):
Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{614,750,000} \approx 24,800 \]
- Теперь найдем доход компании от одного полиса:
Доход компании равен стоимости полиса минус ожидаемая выплата:
\[ \text{Доход} = \text{Стоимость полиса} - E(X) = 8,000 - 4,500 = 3,500 \text{ р.} \]
- Дисперсия дохода:
Для дисперсии дохода используем аналогичную логику:
\[ D(\text{Доход}) = D(X) = 614,750,000 \]
Стандартное отклонение для дохода также:
\[ \sigma(\text{Доход}) = \sigma(X) \approx 24,800 \]
Таким образом, мы получили следующие результаты:
- Ожидаемая выплата: 4,500 р.
- Дисперсия выплат: 614,750,000
- Стандартное отклонение выплат: около 24,800 р.
- Доход компании от одного полиса: 3,500 р.
- Дисперсия дохода: 614,750,000
- Стандартное отклонение дохода: около 24,800 р.
