В треугольнике ABC с углами A и B равными 45° и 60° соответственно, используя некоторые свойства тригонометрии и правила синусов, можно найти сторону AC.
Сначала определим третий угол C:
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75°.
]
Зная углы и одну сторону (BC), можно воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) – стороны треугольника, противоположные углам ( A ), ( B ) и ( C ) соответственно. В нашем случае:
- ( a = BC = 3\sqrt{2} ),
- ( b = AC ) (туда, куда мы стремимся),
- ( c = AB ).
Теперь, используя теорему синусов, мы можем записать:
[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AC}{\sin 60°} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°}.
]
Значения синусов:
- ( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} ),
- ( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} ).
Теперь уравнение будет выглядеть так:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
]
Упростим правую часть:
[
\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \cdot 2 = 6.
]
Итак, получаем:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6.
]
Умножим обе стороны на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.
]
Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 3\sqrt{3} ).
