Давайте разберём задачу по шагам.
а) Чему равна частота колебаний контура?
Частота колебаний ( f ) связана с периодом колебаний ( T ) по формуле:
[
f = \frac{1}{T}
]
Подставим известное значение периода колебаний ( T = 5 , \mu s = 5 \times 10^{-6} , s ):
[
f = \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = 200000 , Hz = 200 , kHz
]
Ответ: Частота колебаний контура равна 200 кГц.
б) Чему равна электроёмкость конденсатора контура?
Используем формулу для колебательного контура, где частота ( f ), индуктивность ( L ) и ёмкость ( C ) связаны следующим образом:
[
f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
]
Из неё можно выразить ёмкость ( C ):
[
C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L}
]
Подставим известные значения: ( f = 200 \times 10^{3} , Hz ) и ( L = 40 , mH = 40 \times 10^{-3} , H ):
[
C = \frac{1}{(2\pi \cdot 200 \times 10^{3})^2 \cdot 40 \times 10^{-3}}
]
Сначала посчитаем ( 2\pi \cdot 200 \times 10^{3} ):
[
2\pi \cdot 200 \times 10^{3} \approx 1256637.06 , s^{-1}
]
Теперь найдём ( C ):
[
C \approx \frac{1}{(1256637.06)^2 \cdot 40 \times 10^{-3}} \approx \frac{1}{6.308 \times 10^{12} \cdot 40 \times 10^{-3}} \approx \frac{1}{2.5232 \times 10^{11}} \approx 3.96 \times 10^{-12} , F \approx 3.96 , pF
]
Ответ: Ёмкость конденсатора контура примерно равна 3.96 пФ.
в) Чему равно максимальное значение напряжения на конденсаторе?
Максимальное значение тока ( I_{max} ) в колебательном контуре связано с максимальным значением напряжения ( U_{max} ) и ёмкостью ( C ) по формуле:
[
U_{max} = I_{max} \cdot Z
]
где ( Z ) — это полное сопротивление, выраженное через индуктивность и ёмкость:
[
Z = \frac{1}{2\pi f C} \quad \text{(при сплошной резонанса)}
]
Для вычисления максимального напряжения используем также:
[
U_{max} = I_{max} \cdot 2\pi f L
]
Подставим известные значения: ( I_{max} = 4 , mA = 4 \times 10^{-3} , A ), ( f = 200 \times 10^{3} , Hz ), ( L = 40 , mH = 40 \times 10^{-3} , H ):
[
U_{max} = 4 \times 10^{-3} \cdot 2\pi \cdot 200 \times 10^{3} \cdot 40 \times 10^{-3}
]
Сначала считаем:
[
2\pi \cdot 200 \times 10^{3} \cdot 40 \times 10^{-3} \approx 1256637.06 \cdot 0.04 = 50265.4824
]
Теперь находим:
[
U_{max} = 4 \times 10^{-3} \cdot 50265.4824 \approx 200.2 , V
]
Ответ: Максимальное значение напряжения на конденсаторе примерно равно 200.2 В.
