Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна 64. Во сколько раз нужно уменьшить все её рёбра, чтобы форма призмы осталась прежней, а площадь боковой поверхности уменьшилось на 48?

Чтобы решить эту задачу, начнем с формул для площади боковой поверхности правильной шестиугольной призмы. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы \( S_{б} \) рассчитывается по формуле: \[ S_{б} = Perimeter \times Height \] Где \( Perimeter \) — периметр основания (правильного шестиугольника), а \( Height \) — высота призмы. Периметр правильного шестиугольника можно выразить как: \[ Perimeter = 6a \] где \( a \) — длина ребра основания. Тогда площадь боковой поверхности призмы: \[ S_{б} = 6a \times h \] где \( h \) — высота призмы. Ваша задача состоит в том, чтобы уменьшить все рёбра призмы таким образом, чтобы площадь боковой поверхности уменьшилась с 64 до \( 64 - 48 = 16 \). Обозначим коэффициент уменьшения рёбер как \( k \). Таким образом, новые длины рёбер и высоты будут: \[ a' = ka, \quad h' = kh \] Тогда площадь боковой поверхности после уменьшения будет: \[ S_{б}' = 6a' \times h' = 6(ka)(kh) = 6k^2ah \] Теперь у нас есть изначальная площадь: \[ S_{б} = 6ah = 64 \] И новая площадь: \[ S_{б}' = 6k^2ah = 6k^2 \times \frac{64}{6} = 64k^2 \] Теперь приравняем новую площадь к 16: \[ 64k^2 = 16 \] Делим обе стороны на 64: \[ k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \] Теперь извлекаем квадратный корень: \[ k = \frac{1}{2} \] Это означает, что нужно уменьшить все рёбра призмы в 2 раза. Таким образом, форма призмы останется прежней, а площадь боковой поверхности уменьшится до 16.