Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна 64. Во сколько раз нужно уменьшить все её рёбра, чтобы форма призмы осталась прежней, а площадь боковой…
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна 64. Во сколько раз нужно уменьшить все её рёбра, чтобы форма призмы осталась прежней, а площадь боковой поверхности уменьшилось на 48?
Чтобы решить эту задачу, начнем с формул для площади боковой поверхности правильной шестиугольной призмы.
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы \( S_{б} \) рассчитывается по формуле:
\[ S_{б} = Perimeter \times Height \]
Где \( Perimeter \) — периметр основания (правильного шестиугольника), а \( Height \) — высота призмы.
Периметр правильного шестиугольника можно выразить как:
\[ Perimeter = 6a \]
где \( a \) — длина ребра основания. Тогда площадь боковой поверхности призмы:
\[ S_{б} = 6a \times h \]
где \( h \) — высота призмы.
Ваша задача состоит в том, чтобы уменьшить все рёбра призмы таким образом, чтобы площадь боковой поверхности уменьшилась с 64 до \( 64 - 48 = 16 \).
Обозначим коэффициент уменьшения рёбер как \( k \). Таким образом, новые длины рёбер и высоты будут:
\[ a' = ka, \quad h' = kh \]
Тогда площадь боковой поверхности после уменьшения будет:
\[ S_{б}' = 6a' \times h' = 6(ka)(kh) = 6k^2ah \]
Теперь у нас есть изначальная площадь:
\[ S_{б} = 6ah = 64 \]
И новая площадь:
\[ S_{б}' = 6k^2ah = 6k^2 \times \frac{64}{6} = 64k^2 \]
Теперь приравняем новую площадь к 16:
\[ 64k^2 = 16 \]
Делим обе стороны на 64:
\[ k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \]
Теперь извлекаем квадратный корень:
\[ k = \frac{1}{2} \]
Это означает, что нужно уменьшить все рёбра призмы в 2 раза. Таким образом, форма призмы останется прежней, а площадь боковой поверхности уменьшится до 16.
