постройте график функции y=x^2+2x-|x^2-9|-8 и определите при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки

Чтобы построить график функции \( y = x^2 + 2x - |x^2 - 9| - 8 \), начнем с упрощения выражения. Обратите внимание, что модуль \( |x^2 - 9| \) меняет свое значение в зависимости от того, где происходит пересечение с осью \( x \):

1. \( x^2 - 9 = 0 \) дает точки пересечения: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Теперь можем определить поведение функции на следующих интервалах:

• Интервал 1: \( x < -3 \)
• Интервал 2: \( -3 \leq x \leq 3 \)
• Интервал 3: \( x > 3 \)

1. На интервале \( x < -3 \):

Здесь \( |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -x^2 + 9 \). Функция становится: \[ y = x^2 + 2x - (-x^2 + 9) - 8 = 2x^2 + 2x - 1 \]

2. На интервале \( -3 \leq x \leq 3 \):

Здесь \( |x^2 - 9| = x^2 - 9 \). Функция становится: \[ y = x^2 + 2x - (x^2 - 9) - 8 = 2x + 1 \]

3. На интервале \( x > 3 \):

Снова \( |x^2 - 9| = x^2 - 9 \). Функция возвращается к: \[ y = x^2 + 2x - (x^2 - 9) - 8 = 2x + 1 \]

График функции:

Таким образом, у нас есть три участка:

• \( y = 2x^2 + 2x - 1 \) для \( x < -3 \)
• \( y = 2x + 1 \) для \( -3 \leq x \leq 3 \)
• \( y = 2x + 1 \) для \( x > 3 \)

Теперь мы видим, что на интервале \( -3 \leq x \leq 3 \) прямая \( y = 2x + 1 \) повторяется, и обычно имеет только одну общую точку с любой горизонтальной прямой (при условии \( m \neq 1 \)).

Определение m для трех общих точек:

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком, она должна пересекать параболу \( y = 2x^2 + 2x - 1 \) в двух точках и линию \( y = 2x + 1 \) в одной:

1. Пересечения с параболой: \[ m = 2x^2 + 2x - 1 \] Для двух решений, дискриминант должен быть положительным: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1 - m) = 4 + 8 + 8m = 12 + 8m > 0 \] \[ 8m > -12 \implies m > -\frac{3}{2} \]

2. Пересечение с линией: \[ m = 2x + 1 \] Для одной общей точки (касание), дискриминант должен быть равен нулю: \[ (m - 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 0 \] Это всегда верно.

Таким образом, для трех общих точек, нужно, чтобы: \[ m > -\frac{3}{2} \]

Резюмируя, прямая \( y = m \) будет иметь ровно три общие точки с графиком функции при \( m > -\frac{3}{2} \).