на стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанный в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) найдите радиус…

Для решения этой задачи давайте шаг за шагом рассмотрим каждую часть.

а) Докажите, что центр вписанный в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.

1. Определение расположения точек: Параллелограмм ABCD имеет свойства, что противоположные стороны равны и углы равны. Поскольку M - точка на стороне BC, которая делит AM пополам (AM = MC), мы можем рассмотреть треугольник AMD.

2. Свойства треугольника: В треугольнике AMD центр вписанной окружности (I) определяется пересечением биссектрис углов. Поскольку AM = MC, угол BAM равен углу CAM, что говорит о симметрии треугольника AMD относительно линии AC.

3. Угол при вершине A: Угол BAD равен 60°, следовательно угол CAM также равен 30°. Тогда угол AMB равен 30°, что делает AMB и AMC равными.

4. Центр вписанной окружности: Поскольку в треугольнике AMD находится сторонний угол AMI через вертикальную линию (сам угол MAD равен углу CAM + углу BAM, которые равны), мы можем утверждать, что центр окружности I лежит на пути AC, так как все углы и стороны имеют равные отношения.

Таким образом, центр вписанной окружности треугольника AMD будет находиться на диагонали AC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 10, BC = 20, угол BAD = 60°.

Для нахождения радиуса вписанной окружности \( r \) воспользуемся формулой:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) - площадь треугольника AMD, а \( p \) - полупериметр.

1. Найдём стороны треугольника AMD. Параллелограмм имеет стороны AB и CD равными 10, а BC и AD равными 20. Угол BAD = 60°. Таким образом, длина стороны AD также равна 20.

2. Площадь треугольника AMD: Мы можем разбить треугольник AMD на два прямоугольных треугольника с использованием высоты от точки M к стороне AD. Высота h можно найти через стандартные формулы тригонометрии:

\[ h = AB \cdot \sin(BAD) = 10 \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]

3. Степень основания (AM) будет равна половине BC, то есть:

\[ AM = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

4. Площадь треугольника AMD: тогда площадь \( S \) может быть вычислена как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \]

5. Полупериметр \( p \): Сначала найдем полный периметр треугольника AMD:

\[ p = \frac{AM + AD + MD}{2} \]

Обозначим MD через x. Так как ABCD параллелограмм, MD также равно 10. Итак, полный периметр:

\[ p = \frac{10 + 20 + 10}{2} = 20 \]

6. Радиус вписанной окружности: теперь можем найти \( r \):

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{25\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, радиус вписанной в треугольник AMD окружности равен \( \frac{5\sqrt{3}}{4} \).