Для решения этой задачи давайте шаг за шагом рассмотрим каждую часть.
а) Докажите, что центр вписанный в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
Определение расположения точек: Параллелограмм ABCD имеет свойства, что противоположные стороны равны и углы равны. Поскольку M - точка на стороне BC, которая делит AM пополам (AM = MC), мы можем рассмотреть треугольник AMD.
Свойства треугольника: В треугольнике AMD центр вписанной окружности (I) определяется пересечением биссектрис углов. Поскольку AM = MC, угол BAM равен углу CAM, что говорит о симметрии треугольника AMD относительно линии AC.
Угол при вершине A: Угол BAD равен 60°, следовательно угол CAM также равен 30°. Тогда угол AMB равен 30°, что делает AMB и AMC равными.
Центр вписанной окружности: Поскольку в треугольнике AMD находится сторонний угол AMI через вертикальную линию (сам угол MAD равен углу CAM + углу BAM, которые равны), мы можем утверждать, что центр окружности I лежит на пути AC, так как все углы и стороны имеют равные отношения.
Таким образом, центр вписанной окружности треугольника AMD будет находиться на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 10, BC = 20, угол BAD = 60°.
Для нахождения радиуса вписанной окружности ( r ) воспользуемся формулой:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) - площадь треугольника AMD, а ( p ) - полупериметр.
Найдём стороны треугольника AMD. Параллелограмм имеет стороны AB и CD равными 10, а BC и AD равными 20. Угол BAD = 60°. Таким образом, длина стороны AD также равна 20.
Площадь треугольника AMD: Мы можем разбить треугольник AMD на два прямоугольных треугольника с использованием высоты от точки M к стороне AD. Высота h можно найти через стандартные формулы тригонометрии:
[
h = AB \cdot \sin(BAD) = 10 \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
]
- Степень основания (AM) будет равна половине BC, то есть:
[
AM = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10
]
- Площадь треугольника AMD: тогда площадь ( S ) может быть вычислена как:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}
]
- Полупериметр ( p ): Сначала найдем полный периметр треугольника AMD:
[
p = \frac{AM + AD + MD}{2}
]
Обозначим MD через x. Так как ABCD параллелограмм, MD также равно 10. Итак, полный периметр:
[
p = \frac{10 + 20 + 10}{2} = 20
]
- Радиус вписанной окружности: теперь можем найти ( r ):
[
r = \frac{S}{p} = \frac{25\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{4}
]
Таким образом, радиус вписанной в треугольник AMD окружности равен ( \frac{5\sqrt{3}}{4} ).
