Сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел равна 590. найдите эти числа

Для того чтобы найти три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 590, обозначим три числа как \(n\), \(n+1\) и \(n+2\). Тогда сумма квадратов этих чисел будет выглядеть так: \[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 590 \] Раскроем скобки: \[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 590 \] Соберем подобные члены: \[ 3n^2 + 6n + 5 = 590 \] Теперь приведем уравнение к стандартному виду, вычтя 590 из обеих сторон: \[ 3n^2 + 6n + 5 - 590 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 3n^2 + 6n - 585 = 0 \] Разделим все члены на 3: \[ n^2 + 2n - 195 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 4 + 780 = 784 \] Так как дискриминант положителен, найдём корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 28}{2} \] Это дает два корня: 1. \(n = \frac{26}{2} = 13\) 2. \(n = \frac{-30}{2} = -15\) (отменяем, так как n должно быть натуральным) Таким образом, первое натуральное число — это \(n = 13\). Следовательно, три последовательных натуральных числа: - \(13\) - \(14\) - \(15\) Проверим: \[ 13^2 + 14^2 + 15^2 = 169 + 196 + 225 = 590 \] Данные числа верны. Ответ: 13, 14 и 15.