Сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел равна 590. найдите эти числа
Для того чтобы найти три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 590, обозначим три числа как \(n\), \(n+1\) и \(n+2\).
Тогда сумма квадратов этих чисел будет выглядеть так:
\[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 590 \]
Раскроем скобки:
\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 590 \]
Соберем подобные члены:
\[ 3n^2 + 6n + 5 = 590 \]
Теперь приведем уравнение к стандартному виду, вычтя 590 из обеих сторон:
\[ 3n^2 + 6n + 5 - 590 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 3n^2 + 6n - 585 = 0 \]
Разделим все члены на 3:
\[ n^2 + 2n - 195 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 4 + 780 = 784 \]
Так как дискриминант положителен, найдём корни уравнения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 28}{2} \]
Это дает два корня:
- \(n = \frac{26}{2} = 13\)
- \(n = \frac{-30}{2} = -15\) (отменяем, так как n должно быть натуральным)
Таким образом, первое натуральное число — это \(n = 13\). Следовательно, три последовательных натуральных числа:
- \(13\)
- \(14\)
- \(15\)
Проверим:
\[ 13^2 + 14^2 + 15^2 = 169 + 196 + 225 = 590 \]
Данные числа верны. Ответ: 13, 14 и 15.
