в правильном тетраэдре dabc точки m нкп середины рёбер DC BC AB соответственно ребро тетраэдра = 4 вычислите скалярное произведение векторов MN и PK
В правильном тетраэдре ABCD, где длина ребра равна 4, обозначим координаты вершин следующим образом:
- A(0, 0, 0)
- B(4, 0, 0)
- C(2, 2\sqrt{3}, 0)
- D(2, \sqrt{3}, 2\sqrt{2})
Теперь найдем координаты середины рёбер, поскольку точки M, N, P и K являются серединами рёбер DC, BC, AB, соответственно.
Точка M (середина рёбер DC): \[ M = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2} + 0}{2} \right) = (2, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}) \]
Точка N (середина рёбер BC): \[ N = \left( \frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, \sqrt{3}, 0) \]
Точка P (середина рёбер AB): \[ P = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0, 0) \]
Точка K (середина рёбер DC), но так как D и C уже заданы, повторим расчёт: \[ K = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2} + 0}{2} \right) = (2, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}) \]
Теперь найдем векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{PK} \):
Вектор \( \vec{MN} \) от M до N: \[ \vec{MN} = N - M = (3 - 2, \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 - \sqrt{2}) = (1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{2}) \]
Вектор \( \vec{PK} \) от P до K: \[ \vec{PK} = K - P = (2 - 2, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0, \sqrt{2} - 0) = (0, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2}) \]
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \( \vec{MN} \) и \( \vec{PK} \): \[ \vec{MN} \cdot \vec{PK} = (1 \cdot 0) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\right) \] \[ = 0 - \frac{3}{4} \cdot 3 - 2 = 0 - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{17}{4} \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( MN \) и \( PK \) равно \( -\frac{17}{4} \).
