в правильном тетраэдре dabc точки m нкп середины рёбер DC BC AB соответственно ребро тетраэдра = 4 вычислите скалярное произведение векторов MN и PK
В правильном тетраэдре ABCD, где длина ребра равна 4, обозначим координаты вершин следующим образом:
- A(0, 0, 0)
- B(4, 0, 0)
- C(2, 2\sqrt{3}, 0)
- D(2, \sqrt{3}, 2\sqrt{2})
Теперь найдем координаты середины рёбер, поскольку точки M, N, P и K являются серединами рёбер DC, BC, AB, соответственно.
1. **Точка M (середина рёбер DC)**:
\[
M = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2} + 0}{2} \right) = (2, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2})
\]
2. **Точка N (середина рёбер BC)**:
\[
N = \left( \frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, \sqrt{3}, 0)
\]
3. **Точка P (середина рёбер AB)**:
\[
P = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0, 0)
\]
4. **Точка K (середина рёбер DC)**, но так как D и C уже заданы, повторим расчёт:
\[
K = \left( \frac{2 + 2}{2}, \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2} + 0}{2} \right) = (2, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2})
\]
Теперь найдем векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{PK} \):
- Вектор \( \vec{MN} \) от M до N:
\[
\vec{MN} = N - M = (3 - 2, \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 - \sqrt{2}) = (1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{2})
\]
- Вектор \( \vec{PK} \) от P до K:
\[
\vec{PK} = K - P = (2 - 2, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0, \sqrt{2} - 0) = (0, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2})
\]
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \( \vec{MN} \) и \( \vec{PK} \):
\[
\vec{MN} \cdot \vec{PK} = (1 \cdot 0) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\right)
\]
\[
= 0 - \frac{3}{4} \cdot 3 - 2 = 0 - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{17}{4}
\]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( MN \) и \( PK \) равно \( -\frac{17}{4} \).
