Чтобы решить задачу, воспользуемся законом всемирного тяготения и формулой для центростремительного ускорения. Сила притяжения между планетой и звездой описывается следующим образом:
[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} ]
где:
- ( F ) — сила притяжения,
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( M ) — масса звезды,
- ( m ) — масса планеты,
- ( r ) — радиус орбиты.
Для первой планеты, сила притяжения в 4 раза больше, чем для второй:
[ F_1 = 4F_2 ]
Это можно записать как:
[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2} ]
После сокращения одинаковых членов (( G ), ( M ), ( m )), у нас остается:
[ \frac{1}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{1}{r_2^2} ]
Теперь мы можем переписать это уравнение:
[ \frac{r_2^2}{r_1^2} = 4 ]
Или, корень из обеих сторон дает:
[ \frac{r_2}{r_1} = 2 ]
Таким образом, радиусы орбит планет находятся в отношении:
[ r_2 = 2r_1 ]
То есть радиус орбиты второй планеты в 2 раза больше радиуса орбиты первой планеты.
