У натурально числа ровно 50 делителей. Может ли ока-заться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?

Для натурального числа \( n \) с 50 делителями, можем записать количество делителей в виде \( d(n) = 50 \). Разложим 50 на множители: \[ 50 = 2 \times 5^2 \] Таким образом, число \( n \) может иметь разное разложение на простые множители, что приводит к различным формам для \( d(n) \). Полное разложение каждого из этих случаев может быть представлено как \[ d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) \ldots (e_k + 1) \] где \( e_i \) — это степени простых делителей числа \( n \). Проверим возможность для случая, когда никаких разностей двух различных делителей числа \( n \) не делится на 100. При этом посмотрим на делители \( n \). Пусть \( n \) имеет простые делители, один из которых — 2. Поскольку 100 делится на 4 и 25, необходимо учитывать пары делителей с четким и нечетким значением. Если среди делителей \( n \) есть четный делитель, тогда два различных четных делителя, как минимум, создадут четное расстояние между ними, которое будет делиться на 2. Если хоть один из делителей \( n \) четный, то нам необходимо, чтобы расстояние между любыми двумя делителями было нечетным (тем самым не делящееся на 100) - что трудно выполнить, так как это требует, чтобы все четные делители были в определенной позиции, чтобы не делить на 4 или 25. Если же \( n \) состоит только из нечетных делителей, значит, все делители будут нечетными и их разности также будут нечетными. Однако для \( d(n) = 50 \) это превращается в: \((e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) = 50\) Здесь, в частности, мы заметим, что возможные комбинации не будут включать четные делители. Таким образом, если \( n \) имеет нечетные делители, сохраняется возможность, что разность двух делителей может оказаться делимой на 100. Контраргумент подтверждает, что, скорее всего, такие разности все же могут быть образованы. Следовательно, можно сделать вывод, что **такие условия невозможны**. Значит, **не может существовать натурального числа с 50 делителями, для которого никакая разность двух различных его делителей не делится на 100**.