Докажите что четырёхугольник ромб если его вершинами являются середины сторон а) прямоугольника б) равнобедренной трапеции

Чтобы доказать, что четырехугольник является ромбом, если его вершинами являются середины сторон: **а) Прямоугольника.** Рассмотрим прямоугольник ABCD. Пусть M, N, P и Q – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Теперь нам нужно показать, что четырехугольник MNPQ является ромбом. 1. Длины отрезков: - Длина отрезка MN равна половине длины стороны AB, что равно длине отрезка PQ, так как обе стороны AB и CD равны. - Аналогично, длина отрезка NP равна половине длины стороны BC, что равно длине отрезка MQ, так как стороны BC и AD равны. 2. Углы: - У прямоугольника углы равны 90 градусам. Это означает, что углы при вершинах квадрата M и N, а также P и Q также будут прямыми, что делает их равными. Таким образом, MNPQ имеет четыре равные стороны и равные углы (по 90 градусов), что определяет его как ромб (на самом деле, это будет квадрат, который является частным случаем ромба). **б) Равнобедренной трапеции.** Теперь рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB || CD и AD = BC. Пусть M, N, P и Q – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. 1. Длины отрезков: - Длина отрезка MN равна половине длины отрезка AB. Длина отрезка PQ равна половине длины отрезка CD. Но поскольку AB и CD параллельны и равны, MN будет равно PQ. - Длина отрезка NP равна длине отрезка MQ. Так как AD = BC, то равенство NP = MQ следует из свойства середины. 2. Углы: - Углы при вершинах M и N равны, потому что они образуются за счет равных боковых сторон AD и BC, и средние линии, соединяющие середины, также равны. Таким образом, все четыре стороны MNPQ равны, и углы равны. Это подтверждает, что MNPQ является ромбом. В обоих случаях мы наблюдаем, что четырехугольники, построенные из полусумм сторон, получаются ромбами.