Для нахождения косинуса угла ( \angle ABC ) в треугольнике ( ABC ) можно использовать теорему косинусов. Эта теорема утверждает, что:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Где ( c ) – сторона, противоположная углу ( C ), а ( a ) и ( b ) – другие две стороны треугольника. В нашем случае:
- ( AB = c = 5 )
- ( AC = b = 9 )
- ( BC = a = 7 )
Мы хотим найти ( \cos(\angle ABC) ). Подставляем значения в формулу:
[
5^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Сначала вычислим квадраты:
[
25 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Сложим 49 и 81:
[
25 = 130 - 126 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Теперь перенесём 130 в левую часть:
[
25 - 130 = -126 \cdot \cos(\angle ABC)
]
[
-105 = -126 \cdot \cos(\angle ABC)
]
Теперь делим обе части на -126:
[
\cos(\angle ABC) = \frac{105}{126}
]
Упростим дробь:
[
\cos(\angle ABC) = \frac{5}{6}
]
Таким образом, косинус угла ( ABC ) равен ( \frac{5}{6} ).
