Давайте решим эту задачу шаг за шагом!
Дано, что сторона равностороннего треугольника ( a = 6\sqrt{3} ).
а) Периметр треугольника.
Периметр равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
[
P = 3a
]
Подставим значение ( a ):
[
P = 3 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}
]
б) Площадь треугольника.
Площадь равностороннего треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Посчитаем ( a^2 ):
[
a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108
]
Теперь подставим значение в формулу площади:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3}
]
в) Радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности ( r ) равностороннего треугольника определяется по формуле:
[
r = \frac{S}{P}
]
Где ( S ) — площадь, а ( P ) — периметр. Подставим известные значения:
[
r = \frac{27\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}
]
г) Радиус описанной окружности.
Радиус описанной окружности ( R ) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Подставим значение ( a ):
[
R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6
]
Итак, результаты:
- Периметр треугольника: ( 18\sqrt{3} )
- Площадь треугольника: ( 27\sqrt{3} )
- Радиус вписанной окружности: ( \frac{3}{2} )
- Радиус описанной окружности: ( 6 )
Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить какой-либо момент, не стесняйтесь спрашивать!
