Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 1 3 см и 1 5 см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник (радиус вписанной окружности), мы воспользуемся формулой:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где:

• \( r \) — радиус вписанной окружности,
• \( S \) — площадь треугольника,
• \( p \) — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр \( p \). Полупериметр рассчитывается как сумма всех сторон треугольника, деленная на 2:

\( a = 4 \, \text{см} \) (первая сторона)
\( b = 13 \, \text{см} \) (вторая сторона)
\( c = 15 \, \text{см} \) (третья сторона)

Полупериметр:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{см} \]

Теперь найдем площадь \( S \) треугольника. Для этого можно использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{16(16 - 4)(16 - 13)(16 - 15)} \]

Теперь считаем:

\[ S = \sqrt{16 \times 12 \times 3 \times 1} = \sqrt{48 \times 3} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}^2 \]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{12}{16} = 0.75 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см, равен \( 0.75 \, \text{см} \).