Найди площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 2π, а угол сектора равен 60°. В ответ запиши площадь, делённую на π.

Для нахождения площади кругового сектора можно использовать следующую формулу:

\[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]

где \( S \) — площадь сектора, \( \alpha \) — угловая мера сектора в градусах, \( r \) — радиус круга.

Однако также можно использовать длину дуги. Длина дуги \( L \) сектора связана с радиусом и углом сектора следующим образом:

\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \]

В данном случае, длина дуги \( L = 2\pi \) и угол сектора \( \alpha = 60^\circ \).

Подставим известные значения в формулу длины дуги:

\[ 2\pi = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r \]

Упростим это уравнение:

\[ 2\pi = \frac{1}{6} \cdot 2\pi r \]

Теперь, чтобы избавиться от \( 2\pi \), выделим \( r \):

\[ 1 = \frac{1}{6} r \]

Отсюда:

\[ r = 6 \]

Теперь, зная радиус, можем найти площадь сектора:

\[ S = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (6^2) \]

Упростим:

\[ S = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 36 = 6\pi \]

Теперь разделим площадь на \( \pi \):

\[ \frac{S}{\pi} = 6 \]

Таким образом, площадь кругового сектора, делённая на \( \pi \), равна \( 6 \).