Давайте решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
(x-3)(y+1) = -4 \
x + y = 5
\end{cases}
]
Первое уравнение можно переписать, чтобы выразить одну переменную через другую. Раскроем скобки в первом уравнении:
[
xy + x - 3y - 3 = -4
]
Это упростится до:
[
xy + x - 3y = -1
]
Теперь воспользуемся вторым уравнением (x + y = 5) и выразим (y) через (x):
[
y = 5 - x
]
Теперь подставим выражение для (y) во первое уравнение:
[
x(5 - x) + x - 3(5 - x) = -1
]
Упростим это:
[
x(5 - x) + x - 15 + 3x = -1
]
[
5x - x^2 + 4x - 15 = -1
]
[
-x^2 + 9x - 15 = -1
]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[
-x^2 + 9x - 14 = 0
]
Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:
[
x^2 - 9x + 14 = 0
]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25
]
Корни уравнения найдём по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 5}{2}
]
Таким образом, получаем два значения для (x):
- (x_1 = \frac{14}{2} = 7)
- (x_2 = \frac{4}{2} = 2)
Теперь подставим эти значения (x) в уравнение (y = 5 - x):
- Если (x = 7), то (y = 5 - 7 = -2).
- Если (x = 2), то (y = 5 - 2 = 3).
Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:
[
(7, -2) \quad \text{и} \quad (2, 3).
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!
