Для решения задачи мы будем использовать принцип сохранения энергии, так как информация о потерях энергии не учитывается.
Обозначим:
- ( V_1 ) — объём холодной воды,
- ( V_2 ) — объём горячей воды,
- ( V ) — общий объём воды в ванне, равный 200 л,
- ( t_1 = 10^\circ C ) — температура холодной воды,
- ( t_2 = 60^\circ C ) — температура горячей воды,
- ( t = 40^\circ C ) — конечная температура.
Сначала запишем уравнение для общего объёма воды:
[
V_1 + V_2 = V
]
Так как ( V = 200 ) л, то:
[
V_1 + V_2 = 200
]
Теперь воспользуемся уравнением для температурной равновесия:
Энергия, переданная теплой водой охладившейся, равна энергии, забранной холодной водой.
[
V_1 \cdot t_1 + V_2 \cdot t_2 = (V_1 + V_2) \cdot t
]
Подставим известные значения:
[
V_1 \cdot 10 + V_2 \cdot 60 = 200 \cdot 40
]
Теперь мы знаем, что ( V_2 = 200 - V_1 ). Подставим это значение в уравнение:
[
V_1 \cdot 10 + (200 - V_1) \cdot 60 = 8000
]
Раскроем скобки:
[
10V_1 + 12000 - 60V_1 = 8000
]
Соберём все ( V_1 ) в одном месте:
[
-50V_1 + 12000 = 8000
]
Выразим ( V_1 ):
[
-50V_1 = 8000 - 12000
]
[
-50V_1 = -4000
]
[
V_1 = \frac{4000}{50} = 80
]
Теперь найдём ( V_2 ):
[
V_2 = 200 - V_1 = 200 - 80 = 120
]
Таким образом, объём холодной воды ( V_1 ) составляет 80 литров, а объём горячей воды ( V_2 ) — 120 литров.
