Устройство состоит из трех независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна
0,1. Составить закон распределения числа не отказавших элементов в
одном опыте
Чтобы составить закон распределения числа не отказавших элементов в устройстве, состоящем из трех независимо работающих элементов, нужно рассмотреть ситуацию, в которой каждый элемент может либо работать (не отказать), либо отказать.
Обозначим:
- Вероятность отказа элемента: \(p = 0,1\)
- Вероятность того, что элемент не откажет: \(q = 1 - p = 0,9\)
Так как у нас три элемента, давайте найдем вероятности для каждого возможного количества не отказавших элементов:
1. **0 не отказавших элемента** (все отказали):
\[
P(0) = p^3 = 0,1^3 = 0,001
\]
2. **1 не отказавший элемент** (один работает, два отказали):
Сначала выберем, какой элемент будет работать. Это можно сделать 3 способами (выбрать один из трёх):
\[
P(1) = \binom{3}{1} \cdot q^1 \cdot p^2 = 3 \cdot 0,9^1 \cdot 0,1^2 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027
\]
3. **2 не отказавших элемента** (два работают, один отказал):
Сначала выберем, какой элемент будет отказавшим. Это можно сделать 3 способами:
\[
P(2) = \binom{3}{2} \cdot q^2 \cdot p^1 = 3 \cdot 0,9^2 \cdot 0,1^1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243
\]
4. **3 не отказавших элемента** (все работают):
\[
P(3) = q^3 = 0,9^3 = 0,729
\]
Теперь у нас есть все вероятности:
- \(P(0) = 0,001\) (0 не отказавших)
- \(P(1) = 0,027\) (1 не отказавший)
- \(P(2) = 0,243\) (2 не отказавших)
- \(P(3) = 0,729\) (3 не отказавших)
Таким образом, закон распределения числа не отказавших элементов можно представить следующим образом:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество не отказавших элементов} & \text{Вероятность} \\
\hline
0 & 0,001 \\
1 & 0,027 \\
2 & 0,243 \\
3 & 0,729 \\
\hline
\end{array}
\]
Это распределение показывает вероятности для каждого возможного количества работающих элементов в устройстве.
