Давайте по порядку разберём ваши вопросы по тригонометрии и уравнениям.
Упростите выражение ( \cot(\pi - \alpha) \cdot \sin \alpha ):
Используя свойства тригонометрических функций, мы знаем, что ( \cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha) ). Следовательно,
[
\cot(\pi - \alpha) \cdot \sin \alpha = -\cot(\alpha) \cdot \sin \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = -\cos \alpha.
]
Вычислите значение ( \sin(32^\circ) \cdot \cos(77^\circ) - \sin(77^\circ) \cdot \cos(32^\circ) ):
Это выражение можно упростить с использованием формулы синуса разности:
[
\sin(A) \cdot \cos(B) - \cos(A) \cdot \sin(B) = \sin(A - B).
]
Подставляя, получаем:
[
\sin(32^\circ - 77^\circ) = \sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Решите уравнение ( 4\sin x \cos x = \sqrt{3} ):
Используя формулу удвоенного угла, где ( 2\sin x \cos x = \sin(2x) ):
[
2 \sin(2x) = \sqrt{3} \implies \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Это означает, что ( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ) или ( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ). Делим на 2:
[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
Найдите все корни уравнения ( \cos(8x) - \cos(6x) = 0 ):
Это уравнение равно тому, что ( \cos(8x) = \cos(6x) ). Следовательно, мы можем написать:
[
8x = 6x + 2n\pi \quad \text{или} \quad 8x = -6x + 2m\pi, \quad n, m \in \mathbb{Z}.
]
Из первого уравнения получаем ( 2x = 2n\pi \implies x = n\pi ). Из второго: ( 14x = 2m\pi \implies x = \frac{m\pi}{7} ).
Упростите выражение ( \frac{1 - \sin^2(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos(\pi - \alpha)} ):
Зная, что ( \sin^2(\pi + \alpha) = \sin^2 \alpha ), а ( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha ):
[
1 - \sin^2(\pi + \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha.
]
Теперь, ( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha ), поэтому:
[
\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos(\pi - \alpha) = \cos \alpha + \cos \alpha = 2\cos \alpha.
]
В итоге:
[
\frac{\cos^2 \alpha}{2\cos \alpha} = \frac{1}{2} \cos \alpha.
]
Найдите абсциссы точек графиков функций ( y = \cos 5x \cos x + \sin 5x \sin x ) и ( y = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
Объединим функции:
[
y = \cos(5x - x) = \cos(4x).
]
Теперь найдем пересечения ( \cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), что соответствует:
[
4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi.
]
Делим на 4:
[
x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}.
]
Решите уравнение ( \sin^2(4x) - \cos^2(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ):
Упрощая, получаем:
[
\sin^2(4x) - (1 - \sin^2(4x)) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 2\sin^2(4x) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Далее:
[
2\sin^2(4x) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin^2(4x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}.
]
Теперь найдите ( 4x ) через ( \sin ) и решите.
Найдите абсциссы пересечения графика функции ( f(x) = 2\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sqrt{2} ) с осью абсцисс:
Решаем уравнение:
[
2\sin^2 x - 2\cos^2 x = \sqrt{2} \implies 2(\sin^2 x - \cos^2 x) = \sqrt{2}.
]
Используя ( \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) ):
[
-2\cos(2x) = \sqrt{2} \implies \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
]
Это соответствует:
[
2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{8} + k\pi.
]
Решите уравнение ( 5\cos^2 x + 5\cos(\frac{\pi}{2} - x) = 7 ):
Заменив ( \cos(\frac{\pi}{2} - x) ) на ( \sin x ):
[
5\cos^2 x + 5\sin x = 7 \implies 5\cos^2 x + 5\sqrt{1 - \cos^2 x} = 7.
]
Подставьте ( u = \cos x ) и решите квадратное уравнение.
Найдите нули функции ( f(x) = \sin 2x + \sqrt{2} \cdot \cos x ):
Установите:
[
\sin 2x = -\sqrt{2}\cos x,
]
а затем выразите через ( \tan x ) и решите уравнение.
Решите уравнение ( \sin(\frac{3\pi}{2} + x) - \cos x = 2 ):
Упрощая:
[
-\cos x - \cos x = 2 \implies -2\cos x = 2 \implies \cos x = -1,
]
что даёт ( x = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z} ).
Найдите все корни уравнения ( 4\sin^2 x - \sin 2x = 2\cos^2 x ):
Используя ( \sin 2x = 2\sin x \cos x ), можно выразить всё через ( u = \sin x ):
[
4u^2 - 2u\sqrt{1-u^2} - 2(1-u^2) = 0.
]
Далее решите это уравнение.
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций ( f(x) = \sin 7x ) и ( g(x) = \sin 5x ):
Решите уравнение ( \sin 7x = \sin 5x ). Этот случай подразумевает ( 7x = 5x + 2k\pi ) или ( 7x = \pi - 5x + 2k\pi ).
Найдите ( \sin(\alpha + \beta) ), если ( \cos \alpha = \frac{12}{13}, \sin \beta = -\frac{4}{5} ):
Сначала найдем ( \sin \alpha ) и ( \cos \beta ):
[
\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}, \quad \cos \beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}.
]
Теперь используем формулу:
[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right).
]
Подсчитайте итоговое значение.
Надеюсь, эта информация была полезна и поможет вам лучше понять материал! Если нужно что-то уточнить или рассмотреть подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
