уг во второй четверт Пися во а) 79°; б) 185°; в) -1930: 56. 66. arccos(-)-arcs 6. Найдите все корни у sin²x-5sinx 7. Найдите нули функции. f(x) = 3tg (5x- 8. Вычислите 9. Решите…

Давайте по порядку разберём ваши вопросы по тригонометрии и уравнениям.

1. Упростите выражение \( \cot(\pi - \alpha) \cdot \sin \alpha \): Используя свойства тригонометрических функций, мы знаем, что \( \cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha) \). Следовательно, \[ \cot(\pi - \alpha) \cdot \sin \alpha = -\cot(\alpha) \cdot \sin \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = -\cos \alpha. \]

2. Вычислите значение \( \sin(32^\circ) \cdot \cos(77^\circ) - \sin(77^\circ) \cdot \cos(32^\circ) \): Это выражение можно упростить с использованием формулы синуса разности: \[ \sin(A) \cdot \cos(B) - \cos(A) \cdot \sin(B) = \sin(A - B). \] Подставляя, получаем: \[ \sin(32^\circ - 77^\circ) = \sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

3. Решите уравнение \( 4\sin x \cos x = \sqrt{3} \): Используя формулу удвоенного угла, где \( 2\sin x \cos x = \sin(2x) \): \[ 2 \sin(2x) = \sqrt{3} \implies \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Это означает, что \( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) или \( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \). Делим на 2: \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

4. Найдите все корни уравнения \( \cos(8x) - \cos(6x) = 0 \): Это уравнение равно тому, что \( \cos(8x) = \cos(6x) \). Следовательно, мы можем написать: \[ 8x = 6x + 2n\pi \quad \text{или} \quad 8x = -6x + 2m\pi, \quad n, m \in \mathbb{Z}. \] Из первого уравнения получаем \( 2x = 2n\pi \implies x = n\pi \). Из второго: \( 14x = 2m\pi \implies x = \frac{m\pi}{7} \).

5. Упростите выражение \( \frac{1 - \sin^2(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos(\pi - \alpha)} \): Зная, что \( \sin^2(\pi + \alpha) = \sin^2 \alpha \), а \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \): \[ 1 - \sin^2(\pi + \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha. \] Теперь, \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \), поэтому: \[ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos(\pi - \alpha) = \cos \alpha + \cos \alpha = 2\cos \alpha. \] В итоге: \[ \frac{\cos^2 \alpha}{2\cos \alpha} = \frac{1}{2} \cos \alpha. \]

6. Найдите абсциссы точек графиков функций \( y = \cos 5x \cos x + \sin 5x \sin x \) и \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \): Объединим функции: \[ y = \cos(5x - x) = \cos(4x). \] Теперь найдем пересечения \( \cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), что соответствует: \[ 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi. \] Делим на 4: \[ x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}. \]

7. Решите уравнение \( \sin^2(4x) - \cos^2(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): Упрощая, получаем: \[ \sin^2(4x) - (1 - \sin^2(4x)) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies 2\sin^2(4x) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Далее: \[ 2\sin^2(4x) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin^2(4x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}. \] Теперь найдите \( 4x \) через \( \sin \) и решите.

8. Найдите абсциссы пересечения графика функции \( f(x) = 2\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sqrt{2} \) с осью абсцисс: Решаем уравнение: \[ 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = \sqrt{2} \implies 2(\sin^2 x - \cos^2 x) = \sqrt{2}. \] Используя \( \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) \): \[ -2\cos(2x) = \sqrt{2} \implies \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \] Это соответствует: \[ 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{8} + k\pi. \]

9. Решите уравнение \( 5\cos^2 x + 5\cos(\frac{\pi}{2} - x) = 7 \): Заменив \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) \) на \( \sin x \): \[ 5\cos^2 x + 5\sin x = 7 \implies 5\cos^2 x + 5\sqrt{1 - \cos^2 x} = 7. \] Подставьте \( u = \cos x \) и решите квадратное уравнение.

10. Найдите нули функции \( f(x) = \sin 2x + \sqrt{2} \cdot \cos x \): Установите: \[ \sin 2x = -\sqrt{2}\cos x, \] а затем выразите через \( \tan x \) и решите уравнение.

11. Решите уравнение \( \sin(\frac{3\pi}{2} + x) - \cos x = 2 \): Упрощая: \[ -\cos x - \cos x = 2 \implies -2\cos x = 2 \implies \cos x = -1, \] что даёт \( x = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z} \).

12. Найдите все корни уравнения \( 4\sin^2 x - \sin 2x = 2\cos^2 x \): Используя \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), можно выразить всё через \( u = \sin x \): \[ 4u^2 - 2u\sqrt{1-u^2} - 2(1-u^2) = 0. \] Далее решите это уравнение.

13. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций \( f(x) = \sin 7x \) и \( g(x) = \sin 5x \): Решите уравнение \( \sin 7x = \sin 5x \). Этот случай подразумевает \( 7x = 5x + 2k\pi \) или \( 7x = \pi - 5x + 2k\pi \).

14. Найдите \( \sin(\alpha + \beta) \), если \( \cos \alpha = \frac{12}{13}, \sin \beta = -\frac{4}{5} \): Сначала найдем \( \sin \alpha \) и \( \cos \beta \): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}, \quad \cos \beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}. \] Теперь используем формулу: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right). \] Подсчитайте итоговое значение.

Надеюсь, эта информация была полезна и поможет вам лучше понять материал! Если нужно что-то уточнить или рассмотреть подробнее, не стесняйтесь спрашивать!