Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 30 см, а больший угол равен 135°.
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам нужно учитывать данные о ее сторонах и угле.
Прямоугольная трапеция имеет две параллельные стороны (основания) и две непараллельные стороны. В данной задаче известны длины меньших оснований, которые равны 30 см каждая, и больший угол, равный 135°.
### Шаги для нахождения площади:
1. **Определим высоту трапеции.**
В прямоугольной трапеции угол, равный 135°, говорит о том, что, если опустить перпендикуляр из одной из меньших сторон на большую, мы получим прямой угол. Таким образом, угол между высотой и основанием трапеции равен 45° (180° - 135° = 45°).
Если обозначим высоту трапеции как \( h \), то из треугольника, образованного высотой и половиной меньшего основания, можем воспользоваться тригонометрией. Для нахождения высоты используя соотношение:
\[
h = a \cdot \sin(\alpha)
\]
где \( a = 30 \, \text{см} \), а \( \alpha = 45° \). Зная, что \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[
h = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \, \text{см}
\]
2. **Определим длину большей стороны.**
Для нахождения длины большой стороны трапеции, мы можем воспользоваться косинусом:
\[
b = a \cdot \cos(\alpha) = 30 \cdot \cos(45°) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \, \text{см}
\]
3. **Теперь найдем площадь трапеции.**
Формула для нахождения площади прямоугольной трапеции:
\[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]
В нашем случае:
\[
a = 30 \, \text{см}, \quad b = 15\sqrt{2} \, \text{см}, \quad h = 15\sqrt{2} \, \text{см}
\]
Подставляем значения в формулу:
\[
S = \frac{(30 + 15\sqrt{2}) \cdot 15\sqrt{2}}{2}
\]
После вычислений:
\[
S = \frac{(30 \cdot 15\sqrt{2} + 15\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2})}{2} = \frac{450\sqrt{2} + 450}{2} = 225 + 225\sqrt{2} \, \text{см}^2
\]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции составляет \( 225 + 225\sqrt{2} \, \text{см}^2 \).
