Чтобы найти точки экстремума функции ( y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56 ), нужно выполнить следующие шаги:
- Найти первую производную функции ( y' ).
- Найти критические точки, приравняв первую производную к нулю.
- Определить, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом, используя вторую производную или тест первой производной.
Шаг 1: Находим первую производную
Функция:
[
y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56
]
Первая производная:
[
y' = 3x^2 - 36x + 81
]
Шаг 2: Находим критические точки
Чтобы найти критические точки, приравниваем первую производную к нулю:
[
3x^2 - 36x + 81 = 0
]
Упрощаем уравнение:
[
x^2 - 12x + 27 = 0
]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36
]
Так как ( D > 0 ), у уравнения два различных корня:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2}
]
Решения:
[
x_1 = \frac{18}{2} = 9
]
[
x_2 = \frac{6}{2} = 3
]
Таким образом, критические точки: ( x_1 = 9 ) и ( x_2 = 3 ).
Шаг 3: Определяем тип экстремума
Теперь находим вторую производную:
[
y'' = 6x - 36
]
Подставим критические точки:
Для ( x_1 = 9 ):
[
y''(9) = 6(9) - 36 = 54 - 36 = 18 > 0
]
Это указывает на минимум в точке ( x = 9 ).
Для ( x_2 = 3 ):
[
y''(3) = 6(3) - 36 = 18 - 36 = -18 < 0
]
Это указывает на максимум в точке ( x = 3 ).
Итог
Точки экстремума функции:
- Минимум в точке ( x = 9 )
- Максимум в точке ( x = 3 )
