y = x3 -18x2+ 81x+56. Найдите точки экстремума функции.
Чтобы найти точки экстремума функции \( y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56 \), нужно выполнить следующие шаги:
- Найти первую производную функции \( y' \).
- Найти критические точки, приравняв первую производную к нулю.
- Определить, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом, используя вторую производную или тест первой производной.
Шаг 1: Находим первую производную
Функция: \[ y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56 \]
Первая производная: \[ y' = 3x^2 - 36x + 81 \]
Шаг 2: Находим критические точки
Чтобы найти критические точки, приравниваем первую производную к нулю: \[ 3x^2 - 36x + 81 = 0 \]
Упрощаем уравнение: \[ x^2 - 12x + 27 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]
Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2} \]
Решения: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Таким образом, критические точки: \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = 3 \).
Шаг 3: Определяем тип экстремума
Теперь находим вторую производную: \[ y'' = 6x - 36 \]
Подставим критические точки:
Для \( x_1 = 9 \): \[ y''(9) = 6(9) - 36 = 54 - 36 = 18 > 0 \] Это указывает на минимум в точке \( x = 9 \).
Для \( x_2 = 3 \): \[ y''(3) = 6(3) - 36 = 18 - 36 = -18 < 0 \] Это указывает на максимум в точке \( x = 3 \).
Итог
Точки экстремума функции:
- Минимум в точке \( x = 9 \)
- Максимум в точке \( x = 3 \)
