4(cos 10 + i sin10)• 2(cos 35 + isin35)

Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме, можно использовать формулу:

\[ r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = r_1 r_2 \left( \cos(\phi_1 + \phi_2) + i \sin(\phi_1 + \phi_2) \right), \]

где \( r_1 \) и \( r_2 \) — модули комплексных чисел, а \( \phi_1 \) и \( \phi_2 \) — их углы.

В данном случае:

1. Первое число: \( 4(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ) \)

   • \( r_1 = 4 \)
   • \( \phi_1 = 10^\circ \)

2. Второе число: \( 2(\cos 35^\circ + i \sin 35^\circ) \)

   • \( r_2 = 2 \)
   • \( \phi_2 = 35^\circ \)

Теперь находим произведение:

\[ r_1 r_2 = 4 \cdot 2 = 8, \] \[ \phi_1 + \phi_2 = 10^\circ + 35^\circ = 45^\circ. \]

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ 8(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ). \]

Зная, что \( \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), мы получаем:

\[ 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 8i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i. \]

Итак, ответ:

\[ 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i. \]