Реши неравенство x 2 + 2 x − 120 < 0 x 2 +2x−120<0 . Запиши в ответ промежуток, указав в скобках его начало и конец. При необходимости вместо символа бесконечности введи -б или +б…
Реши неравенство x 2 + 2 x − 120 < 0 x 2 +2x−120<0. Запиши в ответ промежуток, указав в скобках его начало и конец. При необходимости вместо символа бесконечности введи -б или +б без пробела. В ответе должно быть четыре числа.
Для решения неравенства \( x^2 + 2x - 120 < 0 \) начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 + 2x - 120 = 0 \).
Используем формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -120 \). Подставим значения:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2} \]
Теперь найдем корни:
- \( x_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
- \( x_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)
Таким образом, у нас есть корни \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = -12 \).
Теперь мы можем проанализировать знак выражения \( x^2 + 2x - 120 \) на интервалах, которые определяются этими корнями:
- \( (-\infty, -12) \)
- \( (-12, 10) \)
- \( (10, +\infty) \)
Для определения знака на каждом из интервалов, можно взять произвольные точки из каждого интервала и подставить в выражение:
Для интервала \( (-\infty, -12) \), выберем точку \( x = -13 \): \( (-13)^2 + 2(-13) - 120 = 169 - 26 - 120 = 23 > 0 \)
Для интервала \( (-12, 10) \), выберем точку \( x = 0 \): \( 0^2 + 2(0) - 120 = -120 < 0 \)
Для интервала \( (10, +\infty) \), выберем точку \( x = 11 \): \( 11^2 + 2(11) - 120 = 121 + 22 - 120 = 23 > 0 \)
Теперь мы знаем, что выражение \( x^2 + 2x - 120 < 0 \) на интервале \( (-12, 10) \).
Ответ: \( (-12; 10) \)
