4. В правильной пирамиде боковое ребро равно 5 см, а апофема - 4 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Для решения задачи нам нужно использовать свойства правильной пирамиды и теорему Пифагора.

В правильной пирамиде боковое ребро (равное 5 см) связано с апофемой (равной 4 см) и радиусом основания (который равен половине стороны основания, если обрисовать правильный многоугольник).

Обозначим:

• \( a \) — сторона основания пирамиды,
• \( r \) — радиус вписанной окружности основания, равный \( \frac{a}{2} \) для правильного треугольника.

Вводим координаты и отмечаем, что в прямом треугольнике, образованном боковым ребром, апофемой и радиусом (половиной стороны основания) выполняется равенство:

\[ l^2 = h^2 + r^2, \]

где:

• \( l \) — боковое ребро (5 см),
• \( h \) — апофема (4 см),
• \( r = \frac{a}{2} \).

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

\[ 5^2 = 4^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. \]

Вычислим:

\[ 25 = 16 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. \]

Вычтем 16 из обеих сторон:

\[ 25 - 16 = \left(\frac{a}{2}\right)^2, \] \[ 9 = \left(\frac{a}{2}\right)^2. \]

Теперь возьмем квадратный корень:

\[ \frac{a}{2} = 3. \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы найти сторону основания \( a \):

\[ a = 6 \text{ см}. \]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 6 см.