Для первой задачи, чтобы определить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, мы можем воспользоваться неравенством треугольников и теоремой о соответствии квадратов сторон.
Стороны треугольника: (a = 6) см, (b = 8) см и (c = 11) см.
Сначала мы найдем квадраты длин сторон:
[
a^2 = 6^2 = 36,
]
[
b^2 = 8^2 = 64,
]
[
c^2 = 11^2 = 121.
]
Теперь сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом самой длинной стороны:
[
a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100,
]
[
c^2 = 121.
]
Поскольку (a^2 + b^2 < c^2), то треугольник является тупоугольным.
Теперь перейдем ко второй задаче.
Для нахождения периметра треугольника, мы знаем, что одна сторона на 3 см меньше другой, угол между ними составляет 60°, и третья сторона равна 7 см.
Обозначим одну сторону как (x), а другую как (y). Тогда:
[
x = y - 3.
]
Используя закон косинусов, мы можем выразить связь между сторонами и углом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60°).
]
Подставляя известные значения:
[
7^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \frac{1}{2}.
]
Это упрощается до:
[
49 = x^2 + y^2 - xy.
]
Теперь подставим (x = y - 3):
[
49 = (y - 3)^2 + y^2 - (y - 3)y.
]
Решим это уравнение:
[
49 = (y^2 - 6y + 9) + y^2 - (y^2 - 3y).
]
Преобразуем:
[
49 = y^2 - 6y + 9 + y^2 - y^2 + 3y,
]
[
49 = y^2 - 3y + 9.
]
Переносим всё в одну сторону:
[
y^2 - 3y - 40 = 0.
]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169,
]
[
y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 13}{2}.
]
Это даёт два возможных значения:
[
y = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{или} \quad y = \frac{-10}{2} = -5 \quad \text{(неприемлемо)}.
]
Таким образом, (y = 8) см, тогда (x = 8 - 3 = 5) см.
Теперь периметр треугольника:
[
P = x + y + 7 = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см}.
]
Итак, периметр треугольника равен 20 см.
