Для того чтобы разобраться в этом уравнении, давайте начнем с понимания каждой части.
Выражение, которое вы написали, использует комплексные числа и некоторые свойства тригонометрических функций. В частности, мы видим использование экспоненциальной формы комплексного числа:
[
e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)
]
Теперь, обратим внимание на разложение, которое вы привели. Мы сначала выражаем (\cos(nx)) через комплексное экспоненциальное выражение (e^{inx}):
[
\cos(nx) = \mathrm{Re} { e^{inx} }
]
Затем, вы применяете технику раскладки и получаете:
[
\cos(nx) = \mathrm{Re} { e^{i(n-1)x} \cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix}) }
]
Здесь стоит заметить, что (e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos(x)). После этого, мы можем заменить в уравнении:
[
\cos(nx) = \mathrm{Re} { e^{i(n-1)x} \cdot (2\cos(x) - e^{i(n-2)x}) }
]
На этом шаге вы выразили (\cos(nx)) как комбинацию двух других косинусов:
[
\cos(nx) = \cos[(n-1)x] \cdot 2\cos(x) - \cos[(n-2)x]
]
Такое равенство действительно справедливо и иллюстрирует связь между значениями косинусов на разных углах. Это очень полезная формула, которая может помочь при решении различных задач, связанных с тригонометрией, в том числе в контексте разложения функций или работы с полиномами Чебышёва.
Если вам нужно больше подробностей о тригонометрических идентичностях или их применении, не стесняйтесь спрашивать!
