\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ &…
\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}
Для того чтобы разобраться в этом уравнении, давайте начнем с понимания каждой части.
Выражение, которое вы написали, использует комплексные числа и некоторые свойства тригонометрических функций. В частности, мы видим использование экспоненциальной формы комплексного числа:
\[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]
Теперь, обратим внимание на разложение, которое вы привели. Мы сначала выражаем \(\cos(nx)\) через комплексное экспоненциальное выражение \(e^{inx}\):
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \{ e^{inx} \} \]
Затем, вы применяете технику раскладки и получаете:
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \{ e^{i(n-1)x} \cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix}) \} \]
Здесь стоит заметить, что \(e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos(x)\). После этого, мы можем заменить в уравнении:
\[ \cos(nx) = \mathrm{Re} \{ e^{i(n-1)x} \cdot (2\cos(x) - e^{i(n-2)x}) \} \]
На этом шаге вы выразили \(\cos(nx)\) как комбинацию двух других косинусов:
\[ \cos(nx) = \cos[(n-1)x] \cdot 2\cos(x) - \cos[(n-2)x] \]
Такое равенство действительно справедливо и иллюстрирует связь между значениями косинусов на разных углах. Это очень полезная формула, которая может помочь при решении различных задач, связанных с тригонометрией, в том числе в контексте разложения функций или работы с полиномами Чебышёва.
Если вам нужно больше подробностей о тригонометрических идентичностях или их применении, не стесняйтесь спрашивать!
