Для решения задачи мы используем формулы комбинаторики и теорию вероятностей.
Обозначим:
- Общее количество пирожков ( N = 20 )
- Количество пирожков с повидлом ( K = 6 )
- Количество случайно выбранных пирожков ( n = 2 )
Сначала найдем математическое ожидание ( E(X) ) случайной величины ( X ), которая представляет количество пирожков с повидлом среди выбранных.
Используем формулу для математического ожидания гипергеометрического распределения:
[
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
]
Подставим наши значения:
[
E(X) = 2 \cdot \frac{6}{20} = 2 \cdot 0.3 = 0.6
]
Теперь найдем дисперсию ( Var(X) ) гипергеометрического распределения, которая рассчитывается по следующей формуле:
[
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}
]
Теперь подставим известные значения:
[
Var(X) = 2 \cdot \frac{6}{20} \cdot \left(1 - \frac{6}{20}\right) \cdot \frac{20-2}{20-1}
]
Посчитаем каждую из частей:
- ( \frac{K}{N} = \frac{6}{20} = 0.3 )
- ( 1 - \frac{K}{N} = 1 - 0.3 = 0.7 )
- ( \frac{N-n}{N-1} = \frac{20-2}{20-1} = \frac{18}{19} )
Теперь подставим в формулу:
[
Var(X) = 2 \cdot 0.3 \cdot 0.7 \cdot \frac{18}{19}
]
Теперь произведем расчеты:
[
Var(X) = 2 \cdot 0.3 = 0.6
]
[
0.6 \cdot 0.7 = 0.42
]
[
Var(X) = 0.42 \cdot \frac{18}{19} \approx 0.42 \cdot 0.94736 \approx 0.39708
]
Округляя до сотых, получаем:
[
Var(X) \approx 0.40
]
Таким образом, дисперсия случайной величины ( X ) равна 0.40.
