Давайте решим задачу о прямоугольнике. Обозначим одну сторону прямоугольника как ( x ) см, тогда другая сторона, которая на 7 см больше, будет ( x + 7 ) см.
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника с длинами сторон ( a ) и ( b ) и диагональю ( c ) выполняется следующее равенство:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
В нашем случае, ( a = x ), ( b = x + 7 ) и ( c = 13 ) см. Подставим эти значения в уравнение:
[
13^2 = x^2 + (x + 7)^2
]
Теперь вычислим ( 13^2 ):
[
169 = x^2 + (x^2 + 14x + 49)
]
Упростим уравнение:
[
169 = 2x^2 + 14x + 49
]
Переместим 169 в правую часть:
[
0 = 2x^2 + 14x + 49 - 169
]
Это уравнение приведем к стандартному виду:
[
0 = 2x^2 + 14x - 120
]
Теперь разделим все члены на 2 для упрощения:
[
0 = x^2 + 7x - 60
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Где ( a = 1 ), ( b = 7 ), ( c = -60 ):
[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2}
]
Решим:
- ( x_1 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{-24}{2} = -12 ) (неподходящее значение, так как длина не может быть отрицательной)
Теперь нашли первую сторону ( x = 5 ) см. Тогда вторая сторона:
[
x + 7 = 5 + 7 = 12 \text{ см}
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.
