одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другое а его диагональ равна 13 см найдите стороны прямоугольника
Давайте решим задачу о прямоугольнике. Обозначим одну сторону прямоугольника как \( x \) см, тогда другая сторона, которая на 7 см больше, будет \( x + 7 \) см.
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника с длинами сторон \( a \) и \( b \) и диагональю \( c \) выполняется следующее равенство:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
В нашем случае, \( a = x \), \( b = x + 7 \) и \( c = 13 \) см. Подставим эти значения в уравнение:
\[ 13^2 = x^2 + (x + 7)^2 \]
Теперь вычислим \( 13^2 \):
\[ 169 = x^2 + (x^2 + 14x + 49) \]
Упростим уравнение:
\[ 169 = 2x^2 + 14x + 49 \]
Переместим 169 в правую часть:
\[ 0 = 2x^2 + 14x + 49 - 169 \]
Это уравнение приведем к стандартному виду:
\[ 0 = 2x^2 + 14x - 120 \]
Теперь разделим все члены на 2 для упрощения:
\[ 0 = x^2 + 7x - 60 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = -60 \):
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]
Решим:
- \( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{-24}{2} = -12 \) (неподходящее значение, так как длина не может быть отрицательной)
Теперь нашли первую сторону \( x = 5 \) см. Тогда вторая сторона:
\[ x + 7 = 5 + 7 = 12 \text{ см} \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.
