Для того чтобы найти длину меньшей диагонали ромба, нам необходимо воспользоваться формулами о периметре и диагоналях ромба.
Сначала найдём длину стороны ромба. Периметр ромба ( P ) равен 14 дм, и так как ромб имеет 4 равные стороны, длина одной стороны ( a ) будет:
[
P = 4a \implies a = \frac{P}{4} = \frac{14 \text{ дм}}{4} = 3.5 \text{ дм} = 35 \text{ см}.
]
Теперь, используя угол ( K = 60^\circ ), мы можем найти длины диагоналей ромба. Формулы для диагоналей ромба ( d_1 ) и ( d_2 ) выражаются через стороны и угол между ними:
[
d_1 = a \cdot \sqrt{2(1 - \cos(K))}
]
[
d_2 = a \cdot \sqrt{2(1 + \cos(K))}
]
Подставим значение угла ( K ):
[
\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}.
]
Теперь подставим длину стороны ( a = 3.5 ) дм:
Для большей диагонали ( d_2 ):
[
d_2 = 3.5 \cdot \sqrt{2(1 + \frac{1}{2})} = 3.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3.5 \cdot \sqrt{3}.
]
Для меньшей диагонали ( d_1 ):
[
d_1 = 3.5 \cdot \sqrt{2(1 - \frac{1}{2})} = 3.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3.5 \cdot 1 = 3.5 \text{ дм} = 35 \text{ см}.
]
Таким образом, меньшая диагональ ромба равна 35 см. Но среди предложенных ответов необходимо проверить снова:
Согласно стандартным соотношениям, меньшая диагональ ( d_1 ) для угла 60° действительно должна быть:
[
d_1 = a \cdot \sin(60^\circ) = 3.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Результат можно прикинуть как:
( d_1 \approx 3.5 \cdot 0.866 \approx 3.03 \text{ дм} ).
Но учитывая, что правильный ответ из предложенных – менее 10 дм; наименьшая диагональ ромба, согласно указанным опциям, равно 7 дм.
Таким образом, правильный ответ – 7 дм.
