Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 15°, равна π/32.Найди длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор
Чтобы найти длину дуги окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в 15°, необходимо использовать формулы, связанные с площадью сектора и длиной дуги.
Площадь сектора вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2, \] где \( S \) – площадь сектора, \( \alpha \) – центральный угол сектора в градусах, и \( r \) – радиус окружности.
Из условия задачи известно, что площадь сектора равна \( \frac{\pi}{32} \): \[ \frac{15°}{360°} \cdot \pi r^2 = \frac{\pi}{32}. \] Упростим это уравнение: \[ \frac{15}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{\pi}{32}. \] Упростив дробь \( \frac{15}{360} \), получаем: \[ \frac{1}{24} \cdot \pi r^2 = \frac{\pi}{32}. \] Убираем \( \pi \) с обеих сторон: \[ \frac{1}{24} r^2 = \frac{1}{32}. \] Умножим обе стороны на 24: \[ r^2 = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}. \] Теперь находим \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Длина дуги сектора \( L \) рассчитывается по формуле: \[ L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r. \] Подставляем значения: \[ L = \frac{15°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Упростим: \[ L = \frac{15}{360} \cdot \pi \sqrt{3} = \frac{1}{24} \cdot \pi \sqrt{3}. \]
Итак, длина дуги окружности, ограничивающей сектор, равна \( \frac{\pi \sqrt{3}}{24} \).
