В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.
Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, можно воспользоваться формулой:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( a \) и \( b \) — это длины оснований трапеции, а \( h \) — высота.
Дано:
- Длина боковой стороны (боковая сторона равнобедренной трапеции) \( c = 13 \, \text{см} \)
- Длина одного основания \( a = 10 \, \text{см} \)
- Длина другого основания \( b = 20 \, \text{см} \)
Сначала найдем высоту \( h \) трапеции. Чтобы это сделать, можно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции. Рассмотрим её вертикальный сечение, которое создаст два равных прямоугольных треугольника.
Обозначим:
- Разность оснований: \( d = b - a = 20 - 10 = 10 \, \text{см} \)
- Половина разности оснований: \( \frac{d}{2} = 5 \, \text{см} \)
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:
- Один катет равен \( \frac{d}{2} = 5 \, \text{см} \)
- Другой катет (высота) обозначим как \( h \)
- Гипотенуза равна боковой стороне \( c = 13 \, \text{см} \)
По теореме Пифагора:
\[ h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 = c^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ h^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]
Теперь мы можем найти площадь трапеции:
\[ S = \frac{(10 + 20) \cdot 12}{2} \] \[ S = \frac{30 \cdot 12}{2} \] \[ S = \frac{360}{2} \] \[ S = 180 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 180 см².
